問(wèn)題：如圖1，D是任意一個(gè)三角形ABC的AB邊上的中點(diǎn)，E是BC邊上的中點(diǎn)。連接CD和AE兩條線段，將三角形ABC分為了四個(gè)部分。如果假設(shè)三角形ABC的面積為1，那么這四個(gè)部分的面積分別是多少？
顯然要想直接孤立地求出每一個(gè)部分的面積是不可能的，必須把各個(gè)部分聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行觀察。
ACD、CDB、ACE和AEB。由于三角形AEB和
和AOD的面積相等。這時(shí)的關(guān)鍵問(wèn)題在于建立四邊形ODBE與這兩個(gè)三
角形之間的關(guān)系，我們可以連接OB畫出一條輔助線，如圖2：
利用“等底等高的三角形面積相等”這一結(jié)論立刻知道三角形AOD和OBD面積相等，三角形OCE和OEB面積相等。又由于三角形OCE和AOD面積相等，所以AOD、OBD、OEB和OCE這四個(gè)三角形面積相等，而且
分別為：
四邊形ODBE的面積為：
進(jìn)而就可以求出三角形ACO的面積為：
至此四個(gè)部分的面積就都求出來(lái)了。
通過(guò)解決這個(gè)問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，為了找到局部與整體之間的關(guān)系，往往需要先發(fā)現(xiàn)局部與局部之間的關(guān)系。另外，解題中我們用到了一個(gè)重要結(jié)論，就是“等底等高的三角形面積相等”，這個(gè)結(jié)論我們后面還要經(jīng)常用到。我們還可以把這個(gè)結(jié)論稍微推廣一點(diǎn)，就是“如果兩個(gè)三角形的高相等，那么面積之間的比例關(guān)系與底邊之間的比例關(guān)系是相同的”。
問(wèn)題 如圖3，D是任意一個(gè)三角形ABC的AB邊上的中點(diǎn)，E和F兩點(diǎn)將BC邊平均分為三段。連接CD、AE和AF三條線段，將三角形ABC分為了六個(gè)部分。如果假設(shè)三角形ABC的面積為1，那么這六個(gè)部分的面積分別是多少？
根據(jù)前面的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)，三角形AMD與MBD的面積相等，三角形CMF的面積是三角形MFB面積的2倍。如果設(shè)三角形AMD的面積為a，三角形FMB的面積為b，就有：
解方程組就可以得到：
而且還知道三角形ACM的面積為：
三角形CMF的面積為：
下面把三角形ACF看成一個(gè)整體，就與前面的第一題類似了，不同之處在于此時(shí)的M點(diǎn)并不是AF邊上的中點(diǎn)，但是利用前面的結(jié)論可以知道AM
用與前面同樣的方法，連接輔助線OF，如圖5：
三角形OEF的面積為b，則三角形COE的面積也是b，我們又可以列出兩個(gè)方程：
從而三角形ACO的面積就是：
通過(guò)以上問(wèn)題的啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)整體與局部是相對(duì)的，一個(gè)“局部”有時(shí)需要把他看作“整體”。所謂復(fù)雜的問(wèn)題，往往就是若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)合而成的。根據(jù)前面問(wèn)題的啟發(fā)，我們還可以編出更為復(fù)雜的問(wèn)題，并且去解決他。
問(wèn)題 如圖6，D、E分別是任意一個(gè)三角形ABC的AB邊上的三等分點(diǎn)，G和F兩點(diǎn)分別是BC邊上的三等分點(diǎn)。連接CD、CE、AF和AG四條線段，將三角形ABC分為了九個(gè)部分。如果假設(shè)三角形ABC的面積為1，那么這九個(gè)部分的面積分別是多少？
與前面方法類似，首先連接輔助線NB，如圖7。
假設(shè)三角形NEB的面積為a，三角形NBG的面積為b，則有三角形AEN的面積為2a，三角形CNG的面積為2b。而且可以列出下列方程組：
從而三角形CAN的面積為：
以下只需要把三角形ACG看作“整體”，連接輔助線MG，就可以繼續(xù)重復(fù)上述過(guò)程，逐步求出每一部分的面積，答案如圖8。
請(qǐng)同學(xué)們不厭其煩地、獨(dú)立地完成本題的全部解答。
正當(dāng)本文即將完稿時(shí)，由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)舉辦的“99我愛(ài)數(shù)學(xué)少年夏令營(yíng)”在北京舉行，其中“數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷”上第11題，也是本次競(jìng)賽得分較低的一道題，就屬于本文論述的類型：
問(wèn)題 在圖9中，AE∶EC＝1∶2，CD∶DB＝1∶4，BF∶FA＝1∶3，△ABC的面積S＝1，那么四邊形AFHG的面積SAFHG____。
本題的關(guān)鍵顯然是設(shè)法分別求出兩個(gè)三角形BFH和AEG的面積，為了使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，我們先去掉一條線段AD，圖形變?yōu)槿鐖D10。
然后添加輔助線AH，如圖11。
這時(shí)設(shè)三角形BFH的面積為a，則三角形AHF的面積為3a，三角形
用同樣方法去掉線段FC，并添加輔助線GC，如圖12。
事實(shí)上本題圖中的七個(gè)部分的面積都可以求出來(lái)。本題中用到的通過(guò)去掉一條線段簡(jiǎn)化圖形的方法，在后面關(guān)于四邊形的討論中還要用到。
