例1 720有多少個(gè)約數(shù)？所有約數(shù)的和是多少？

解 720=2⁴×3²×5，因此，720的任一約數(shù)都只能含有質(zhì)因數(shù)2，3和5，對(duì)于720的某個(gè)約數(shù)n，只要研究它所含質(zhì)因數(shù)2、3、5的個(gè)數(shù)。質(zhì)因數(shù)2在n的質(zhì)因數(shù)分解式中可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)1個(gè)、2個(gè)……4個(gè)，因此共有5種可能。質(zhì)因數(shù)3在n的質(zhì)因數(shù)分解式中可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)1個(gè)、2個(gè)，因此有3種可能。質(zhì)因數(shù)5在n的質(zhì)因數(shù)分解式中可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)1個(gè)，因此有2種可能。

　　所以約數(shù)的個(gè)數(shù)：5×3×2=30（個(gè)）

　　所有約數(shù)的和就是30個(gè)約數(shù)的和，即等于（1+2¹+2²+2³+2⁴）×（1+3¹+3²）×（1+5¹）=31×13×6=2418

例2 在下面的圖中（單位：厘米）

　　求：（1）一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？

解（1）AE這條線段上有多少條線段就是長(zhǎng)有多少種取法，很明顯得出長(zhǎng)有10種取法；同理，寬也有10種取法。

　　一共有（10×10=）100（個(gè)）長(zhǎng)方形。

解（2）長(zhǎng)的長(zhǎng)度有10種：5、12、8、1、17、20、9、25、21、26，寬的長(zhǎng)度也有10種：2、4、7、3、6、11、10、13、14、16。所有這些長(zhǎng)方形的面積和=（5+12+8+1+17+20+9+25+21+26）×（2+4+7+3+6+11+10+13+14+16）=144×86=12384（平方厘米）

　　練習(xí)：圖中有6個(gè)點(diǎn)，9條線段，一只甲蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點(diǎn)。行進(jìn)中，同一個(gè)點(diǎn)或同一條線段只能經(jīng)過(guò)一次，這只甲蟲(chóng)最多有多少種不同的走法？