2006年8月，第二十五屆國際數(shù)學(xué)家大會在西班牙馬德里舉行，中國科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所副所長陳志明研究員作了題為《求解微分方程的后驗(yàn)誤差估計(jì)與自適應(yīng)有限元方法》的45分鐘報(bào)告，成為此次大會唯一獲邀作45分鐘報(bào)告的中國大陸數(shù)學(xué)家。

　　最優(yōu)方法已經(jīng)走到極限

　　“自適應(yīng)有限元方法的思想最早出現(xiàn)在1978年，美國數(shù)學(xué)家Babuska完成了這一方法的基本理論，但那個時候，自適應(yīng)有限元方法被用來解決一些比較簡單的數(shù)學(xué)模型問題，而我的工作就是用它來解決比較復(fù)雜和困難的工程問題。”辦公室里，陳志明輕描淡寫地對記者說著自己在國際數(shù)學(xué)家大會上作的報(bào)告。

　　不過，從簡單問題到復(fù)雜的工程問題，這個方法要經(jīng)歷和解決的困難卻無法輕描淡寫。

　　自適應(yīng)有限元方法以常規(guī)有限元方法為基礎(chǔ)，以后驗(yàn)誤差估計(jì)和自適應(yīng)網(wǎng)格改進(jìn)技術(shù)為核心，通過自適應(yīng)分析，自動調(diào)整算法以改進(jìn)求解過程。“從方法論角度來說，人們已經(jīng)得到結(jié)論，自適應(yīng)是用有限元方法解微分方程的最優(yōu)離散方法。”陳志明說，在微分方程求解的有限元道路上，自適應(yīng)已經(jīng)是數(shù)學(xué)上能找到的“極限”方法了。

　　在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，很多工程問題的解決都要用到微分方程，但用計(jì)算機(jī)求解微分方程需要進(jìn)行大量計(jì)算。有時候，為了把誤差控制在足夠小的范圍內(nèi)，需要進(jìn)行上億次的運(yùn)算，這對一般計(jì)算機(jī)來說非常吃力。有時即便進(jìn)行上百億次運(yùn)算，也無法把誤差控制在理想范圍之內(nèi)。為了減少運(yùn)算次數(shù)、控制誤差范圍，顯然，需要更好的求解方法。

　　“用有限元方法解微分方程有三步：設(shè)計(jì)網(wǎng)格、在網(wǎng)格上將微分方程離散、解代數(shù)方程。其中，設(shè)計(jì)網(wǎng)格是最關(guān)鍵也是最困難的一步。”所謂設(shè)計(jì)網(wǎng)格，就是把計(jì)算區(qū)域劃分為有限個互不重疊的單元，陳志明告訴記者，人們往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來劃分網(wǎng)格，有時需要反復(fù)嘗試多次才能找到比較合適的劃分方法，而嘗試過程也需要進(jìn)行大量運(yùn)算。

　　“現(xiàn)在，用自適應(yīng)方法解微分方程，設(shè)計(jì)網(wǎng)格的工作可以交給計(jì)算機(jī)自動完成，不再需要人們手工設(shè)置和嘗試，這樣節(jié)省了大量工作和時間。”陳志明說。

　　在第二十五屆國際數(shù)學(xué)家大會的報(bào)告中，陳志明以工程中的熱傳導(dǎo)問題為例，很好地說明了這一方法的高效率。如果在計(jì)算域內(nèi)設(shè)計(jì)分布均勻的網(wǎng)格，將需要100億個網(wǎng)格，但這時達(dá)到的誤差仍然有0.1；如果用自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)出分布不均勻的網(wǎng)格，只需要2673個網(wǎng)格，誤差就會下降到0.07。

　　現(xiàn)在，陳志明在橢圓障礙問題、超導(dǎo)數(shù)學(xué)模型、電磁散射計(jì)算中引入的創(chuàng)造性的有限元自適應(yīng)方法，被國際學(xué)術(shù)界認(rèn)為“非常重要和有用”。

　　循著開創(chuàng)者的路繼續(xù)開創(chuàng)

　　陳志明作完45分鐘報(bào)告之后，遇到一位曾在1994年國際數(shù)學(xué)家大會上作邀請報(bào)告的西班牙數(shù)學(xué)家。當(dāng)他得知陳志明來自中國科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所，興奮地說，多年前，他曾訪問中科院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所的前身——中科院計(jì)算中心，與馮康先生討論數(shù)學(xué)問題，后來他還邀請馮康先生到西班牙訪問。

　　對未知的追求與對先驅(qū)的敬仰重新交織在同一個時空。

　　馮康一生中有兩次重大科學(xué)突破：1964～1965年間，獨(dú)立開創(chuàng)有限元方法并奠定其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；1984年以后創(chuàng)建哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法及其發(fā)展。

　　“我只是在南京大學(xué)讀書的時候聽過馮先生的報(bào)告，那是我對馮先生最直接的印象。遺憾的是，馮先生在1993年就過世了，當(dāng)時我還在國外攻讀博士學(xué)位，沒有機(jī)會得到馮先生的親自指導(dǎo)。后來到了計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所，我才聽大家說起馮先生的工作，開始讀他的文章。那些東西很深，他的工作很了不起。”陳志明回憶起馮先生給他留下的印象。

　　1994年，陳志明還在德國做博士后。當(dāng)時他在做超導(dǎo)數(shù)學(xué)模型的計(jì)算，從一個報(bào)告中了解到美國數(shù)學(xué)家Babuska開創(chuàng)的自適應(yīng)方法，并感到這個方法非常有意思，隨即搜集了很多相關(guān)材料。很快，陳志明回國，在研究工作中逐漸把自適應(yīng)方法引入到解決復(fù)雜工程問題的有限元計(jì)算中。

　　計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所石鐘慈、林群和崔俊芝幾位院士，也從事有限元方法的研究，平時經(jīng)常和陳志明一起交流、討論，非常支持陳志明。“有限元方法的研究在我國基礎(chǔ)很強(qiáng)，我現(xiàn)在做的工作也是繼承了這個傳統(tǒng)。為什么要解決這些工程問題，為什么這些問題這么重要，這個解決辦法是怎么開創(chuàng)出來的等等，這其中的來龍去脈，學(xué)術(shù)文章里是不寫的，但往往是科學(xué)研究中很重要的部分。能夠在這種良好氛圍中熏陶和灌輸，慢慢地，人在學(xué)術(shù)上的品位就會逐步建立起來。”

　　這些年來，陳志明和他周圍的學(xué)者們不斷討論計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展方向。當(dāng)前國內(nèi)計(jì)算數(shù)學(xué)的研究范圍已經(jīng)擴(kuò)大到應(yīng)用、實(shí)現(xiàn)技術(shù)、軟件平臺研究等，與國際上的研究趨勢更加緊密地結(jié)合起來。

　　2005年，陳志明成為國家“973”計(jì)劃項(xiàng)目“高性能科學(xué)計(jì)算研究”的首席科學(xué)家。這使得他們從事的研究能夠更加深入地進(jìn)行下去。“我一直很喜歡自適應(yīng)這個方法，對Babuska先生，我也很景仰。他這種原創(chuàng)性的想法非常難得，對我們幫助很大。當(dāng)然，要拿這套東西去解決新的問題，還需要新的想法和新的發(fā)現(xiàn)。”

　　計(jì)算數(shù)學(xué)水平邁上新臺階

　　身處國際數(shù)學(xué)家大會，陳志明在會議期間常和同行交流，他感到，中國計(jì)算數(shù)學(xué)的水平已經(jīng)得到了國際學(xué)術(shù)界的肯定。

　　“在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我國的學(xué)術(shù)水平在國際上已經(jīng)上了一個新臺階。國內(nèi)學(xué)者在國外頂尖刊物上發(fā)表文章已經(jīng)非常多，這種整體水平的提高也已經(jīng)被國外學(xué)者注意到了。他們說，原來國外頂尖刊物上的文章也有很多中國學(xué)者的名字，但是地址都在國外，現(xiàn)在這些中國學(xué)者的地址很多都在國內(nèi)了。

　　“另外，我們現(xiàn)在研究的問題也能讓國外的學(xué)者感興趣，這在某種程度上代表著你做的學(xué)問是否有原創(chuàng)性。

　　“我從事的是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但我想不僅僅是計(jì)算數(shù)學(xué)在發(fā)展，總的來講，我國數(shù)學(xué)的總體水平比以前有了很大的進(jìn)步。”

　　陳志明認(rèn)為，整體水平高了以后，分支領(lǐng)域中才會有更高的成就。例如俄羅斯的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)非常強(qiáng)，才會產(chǎn)生佩雷爾曼這樣的數(shù)學(xué)家。他用來證明龐加萊猜想的一個關(guān)鍵方法，西方數(shù)學(xué)界幾乎無人能懂，但是受過俄羅斯數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)家卻都深諳此道。這就是俄羅斯整體數(shù)學(xué)水平高、長期積累的數(shù)學(xué)工具之一，而且這種數(shù)學(xué)工具其他國家的人往往不知道，這樣的話，很有可能有些問題只能用這些“獨(dú)門”數(shù)學(xué)工具來解決。

　　喜歡數(shù)學(xué)是因?yàn)閺闹姓业搅藰啡?/p>

　　第二十五屆國際數(shù)學(xué)家大會上，陳志明和他的國際同行有一個共識，他說：“我感覺數(shù)學(xué)家還是應(yīng)該更多地考慮數(shù)學(xué)本身，專注于做學(xué)問，其他的不應(yīng)該考慮太多。

　　“我們確實(shí)討論到了這樣的問題，大家喜歡做數(shù)學(xué)，就是因?yàn)閺淖鰯?shù)學(xué)的過程中找到了樂趣。有一位國際同行的話讓我印象深刻，他說，‘你做數(shù)學(xué)的過程，樂在其中，那就夠了！’

　　“有的人說數(shù)學(xué)枯燥，我覺得很有意思，因?yàn)閿?shù)學(xué)能把很多自然現(xiàn)象歸納成數(shù)學(xué)模型，通過這個數(shù)學(xué)模型能預(yù)測很多原來不可能知道的事情。

　　“這是非常有意義的，原來不能做的事情現(xiàn)在能做了，原來別人看不到的，通過你的努力能看到了，這些就是科學(xué)發(fā)現(xiàn)。搞數(shù)學(xué)的和其他科學(xué)研究都一樣，都需要堅(jiān)持和勤奮。”

　　對過程樂在其中，對結(jié)果自然就不會太多過問，陳志明說：“隨著時間過去，很多東西都會過去，真正原創(chuàng)的研究才能留下來。但是科學(xué)史上能夠留下來的東西是非常少的。”

　　“科學(xué)家也是人，不可能完全脫離社會，如果出現(xiàn)了對學(xué)術(shù)問題的不同意見也很正常。科學(xué)史上也有牛頓和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論，但最后他們都留在了科學(xué)史上，說明他們的工作都很重要。”對于工作的價值，陳志明認(rèn)為，那是要用時間來判斷的，與自己要做的工作無關(guān)。