填幻方是一種填數游戲。這種游戲最早起源于我國。傳說距今4千多年的夏禹王治水時，河南洛水里浮出一只大烏龜，背上有一個祥瑞的圖形，這就是洛書。

洛書是一種最古老的幻方。現在幻方成了一門應用廣泛的科學，它在程序設計、組合分析、實驗設計、人工智能、圖論、博奕論等都得到了應用。這里介紹一些通俗有趣的幻方游戲。

反幻方

上面說過，我國古老的洛書是一種幻方。它用圓圈來表示數字。中間5個圈表示5，前后左右分別表示1、9、3、7，四個角分別表示2、4、6、8。

將洛書翻譯出來，可以得到下面的表格：

它的每行、每列和兩個對角線上的3個數之和相等，等于15。這就是一個三階幻方。下面我們要大家動手動腦來做一個三階反幻方。

填法：三階反幻方就是說，3×3的方格內，填上1至9九個數，使它的每行，每列和兩條對角線上的3個數之和都不相等。

你會發現，要填這個反幻方并不容易。美國著名數學游戲大師馬丁?加德納發明了這種反幻方，并給出了答案，你可以驗證、驗證，看對不對？答案是：

你發現了其中的規律沒有？原來九個數首尾相連，形成“一條龍”。

后來有人又找到一種“一條龍”的答案：

至于不是“一條龍”的答案，就很多了，你自己去試試填吧。

寫給太空人的信

著名數學家華羅庚建議，在宇宙飛船上帶上中國的洛書，作為給太空人的見面禮。因為太空人如果掌握高度的文明之話，一定會懂得這個圖的含義。

1977年，美國發射的“旅行者”號宇宙飛船上，果然帶了一張幻方圖。現在就讓你來填填這個幻方圖。

填法：這是一個四階幻方圖。就是在一個4×4的帶16個方洛的方陣圖中，每格分別填上1至16的數字，使每行、每列及兩條對角線上的4個數之和都相等。

請你來填填這個四階幻方圖。不過，四階幻方的填法共有880種之多，所以我們要提示一下。

這個四階幻方是在印度卡俱拉霍發現的，它是11世紀時刻在一個碑上的，數學家叫它筒形幻方。它不只對角線的4個數相等，等于34，而且任何一條折斷的對角線上4數之和也都等于34。也就是說，幻方的上邊第一行移到最下一行，或左邊第一行移到最右一行，仍是幻方。而且每相鄰的4個數之和也等于34，我們給出這個幻方的8個數：

相信你會填出其他數來。答案是：

顛倒幻方

圖一是一個四階幻方，它每格填的不是1至16的自然數。但它每行、每列及對角線的4個數和都等于264。

奇怪的是，將這個幻方顛倒過來，又是一個新的幻方。它每行、每列及對角線的4數和仍為264。

奧秘在哪兒？原來幻方格子里填的數，都由1、6、8、9這四個數組成，而這四個數顛倒以且仍然是數字，其中1、8仍是原數，6、9則倒了個。此幻方由錢曾濤提供。

三角幻方

我們知道，三角形只有3個交點，因此填3個數，使每條邊上的兩數之和相等，是完全不可能的。

但是，如果在每邊中設4個數，則就成為可能了。

填法：我們畫出這個三角形幻方圖，請在每個圓圈中填上1至9的數字，使每條邊的4數和相等。

圖二是填好的三角幻方圖。你是否發現，這個幻方還有其他特性，如其中三個內三角形上的數字和也相等，即2＋9＋4＋3＋7＝5＋4＋9＋1＋6＝8＋1＋6＋7＋3＝25

這人個幻方是孫維梓設計的。

六角幻方

本世紀初，有一個叫阿當斯的青年，他熱心填六角形的幻方。就是在六角形的7個點上，填上1至7七個數，使每條直線上的2個或3個數和相等。

經過47年的努力，還沒有得到成功。原來這樣的幻方是不可能存在的。如圖二所示，若a＋6＝b＋c，則a＝c,但是幻方的要求是所填的數不能相同。

不過，他經過這么多年挫折后，終于用畢生精力排出了一個兩層六角幻方。

填法：在圖三所示的六角幻方中，共有兩層，19個點，要求在各點上填上1至19各數，使每條線上的各數和相日二等，等于38。這個幻方叫你來填當然很難。不過，我們可以先給出內層7個數，你來補充其他12個數，也許就不困難了。

掛紅燈

洛書是一種三階幻方，它共有3×3九個格。你會問：有沒有二階幻方？也就是說，在一個口字形的4角上，分別填上1至4四個數，使每行、每列的兩數和相等。可能嗎？答案是不可能。

道理很簡單，這在六角幻方中已經有了類似的證明。

那么，可不可以將二階幻方變變形，使幾個方格并起來，達到類似幻方的目的呢？這倒是可以。如圖一，一共有14盞彩燈，在各盞燈上分別填上0到13的數字，使每個方格上的數字和相等。這就是可能的。

填法：先告訴你方格上4數和是27，再提示你上面4盞燈分別填上1、9、8、6四數。下面就好填了。圖二是一種方案，有沒有其他方案呢？此幻方是錢樹庠設計的。