A3－019 某州頒發(fā)由6個(gè)數(shù)字組成的車牌證號(hào)（由0―9的數(shù)字組成），且規(guī)定任何兩個(gè)牌號(hào)至少有兩個(gè)數(shù)字不同（因此，證號(hào)“027592”與“020592”不能同時(shí)使用），試確定車牌證號(hào)最多有多少個(gè)？

【題說(shuō)】 第十九屆（1990年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題1．

【解】 至多可造出不同的五位證號(hào)a₁a₂a₃a₄a₅10⁵個(gè)．令a₆是a₁＋a₁＋a₃＋a₄＋a₅的個(gè)位數(shù)字，所成的六位數(shù)便滿足要求．因?yàn)槿绻麅蓚�(gè)數(shù)的前五位中只有一個(gè)數(shù)字不同，那么第6位數(shù)字必然不同．

另一方面，任何10⁵＋1個(gè)6位數(shù)中，總有兩個(gè)前五位數(shù)字完全相同．

因此，符合題目要求的車牌證號(hào)最多有10⁵個(gè)．

A3－020 設(shè) A＝99…99（81位全為9），求A²的各位數(shù)字之和．

【題說(shuō)】 1991年日本數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選賽題1．

【解】 由A＝10⁸¹－1知

A²＝10¹⁶²－2?10⁸¹＋1

＝99…980…01

↑       ↑

162位     82位

故A²各位數(shù)字之和＝9×（162－82）＋8＋1＝729．

A3－021 如果一個(gè)正整數(shù)的十進(jìn)制表示中至少有兩個(gè)數(shù)字，并且每個(gè)數(shù)字都比它右邊的數(shù)字小，那么稱它為“上升”的．這種“上升”的正整數(shù)共有多少個(gè)？

【題說(shuō)】 第十屆（1992年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題2．

【解】 符合條件的正整數(shù)中的數(shù)字，都是不同的非零數(shù)碼，即集合S＝{1，2，3，…，9}的二元或二元以上的子集．反過來(lái)，S的每個(gè)二元或二元以上的子集，將它的數(shù)碼從小到大排列，也得到一個(gè)符合條件的正整數(shù)．S的子集共有2⁹

=512個(gè)，其中只含一個(gè)元素的子集有9個(gè)，一個(gè)空集．故符合條件的正整數(shù)共有512－10=502個(gè)．

A3－022  試用一個(gè)n的函數(shù)，表示乘積

在十進(jìn)制下各位數(shù)字的和．

【題說(shuō)】第二十一屆（1992年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題1．

【解】先給出引理：設(shè)自然數(shù)m的位數(shù)不多于d，M=（10^k－1）m（k≥d）．則

S（M）=9k

這里S（M）表示M中各位數(shù)字的和．

事實(shí)上，令M=（10^k－1）m=p+q+r，這里p=10^k（m－1），q=10^d－m，r=10^k－10^d．若m－1的十進(jìn)制的表示是

a_i+b_i=9（i=1，2，…，d）

r=（10^k－1）－（10^d－1）

=99…9（k個(gè)9）－99…9（d個(gè)9）

=99…900…0（k－d個(gè)9，d個(gè)0）

個(gè)9，d個(gè)0）

從而，S（M）=9k

記題給乘積為M＇，且令

A3－023  求方程

的各個(gè)正根的乘積的最后三位數(shù)字．

【題說(shuō)】第十三屆（1995年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題2．

【解】令y=1og₁₉₉₅x．由原方程取對(duì)數(shù)得

其最后三位數(shù)字為025．

A3－024  一個(gè)六位數(shù)的首位數(shù)字是5，是否總能夠在它的后面再添加6個(gè)數(shù)字，使得所得的十二位數(shù)恰是一個(gè)完全平方數(shù)？

【題說(shuō)】1995年城市數(shù)學(xué)聯(lián)賽高年級(jí)普通水平題3．

【解】不．若不然，10⁵個(gè)以5為首位數(shù)字的六位數(shù)可以衍生出105個(gè)十二位的完全平方數(shù)．即有10⁵個(gè)自然數(shù)n滿足．

5×10¹¹≤n²＜6×10¹¹

亦即

7×10⁵＜n＜8×10⁵

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