A4－014  （a）對于什么樣的整數(shù)n＞2，有n個(gè)連續(xù)正整數(shù)，其中最大的數(shù)是其余n－1個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的約數(shù)？

（b）對于什么樣的n＞2，恰有一組正整數(shù)具有上述性質(zhì)？

【題說】第二十二屆（1981年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題4．

【解】設(shè)n個(gè)連續(xù)正整數(shù)中最大的為m．

當(dāng)n=3時(shí)，如果m是m－1，m－2的最小公倍數(shù)的約數(shù)，那么m整除（m－1）（m－2），由m|（m－1）（m－2）得m|2，與m－2＞0矛盾．

設(shè)n=4．由于

m|（m－1）（m－2）（m－3）

所以m|6，而m＞4，故這時(shí)只有一組正整數(shù)3，4，5，6具有所述性質(zhì)．

設(shè)n＞4．由于m|（m－1）（m－2）…（m－n＋1），所以m|（n－1）！取m=（n－1）（n－2），則（n－1）|（m－（n－1）），（n－2）|（m－（n－2））．由于n－1與n－2互質(zhì)，m－（n－1）與m－（n－2）互質(zhì)，所以m=（n－1）（n－2）整除m－（n－1）與m－（n－2）的最小公倍數(shù)，因而m具有題述性質(zhì)．

類似地，取m=（n－2）（n－3），則m整除m－（n－2）與m－（n－3）的最小公倍數(shù)，因而m具有題述性質(zhì)．

所以，當(dāng)n≥4時(shí)，總能找到具有題述性質(zhì)的一組正整數(shù)．當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，恰有唯一的一組正整數(shù)．

A4－018  試求出所有的正整數(shù)a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得（a－1）（b－1）（c－1）是abc－1的約數(shù)．

【題說】第三十三屆（1992年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題1．本題由新西蘭提供．

【解】設(shè)x=a－1，y=b－1，z=c－1，則1≤x＜y＜z并且xyz是

（x＋1）（y＋1）（z＋1）－1=xyz＋x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的約數(shù)，從而xyz是x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的約數(shù)．

由于x＋y＋z＋xy＋yz＋zx＜3yz，所以x=1或2．

若x=1，則yz是奇數(shù)1＋2y＋2z的約數(shù)．由于1＋2y＋2z＜4z，所以y=3．并且3z是7＋2z的約數(shù)．于是z=7．

若x=2，則2yz是2＋3y＋3z＋yz<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'