A5－028  對于每個正整數n，以s（n）表示滿足如下條件的最大正整數：對于每個正整數k≤s（n），n²都可以表示成k個正整數的平方之和．

1．證明：對于每個正整數n≥4，都有s（n）≤n²－14；

2．試找出一個正整數n，使得s（n）=n²－14；

3．證明：存在無限多個正整數n，使得s（n）=n²－14．

【題說】第三十三屆（1992年）國際數學奧林匹克題6．本題由英國提供．

【解】用反證法證明如下：

假設對某個n≥4，有s（n）≥n²－14，則存在k=n²－13個正整數a₁，a₂，…，a_k，使得

于是就有

從而

3b＋8c=13

這表明c=0或1；但相應的b不為整數，矛盾．

2．每個大于13的正整數m可以表為3b＋8c，其中b、c為非負整數．事實上，若m=3s＋1，則s≥5，m=3（s－5）＋2×8．若m=3s＋2，則s≥4，m=3（s－2）＋8．

由

即知n²可表為n²－m個平方和，從而n²可表為n²－14，n²－15，…，

對于n=13，有

n²=12²＋5²=12²＋4²＋3²=8²＋8²＋5²＋4²

由于8²可表為4個4²的和，4²可表為4個2²的和，2²可表為4個1²的和，所以13²=8²＋8²＋5²＋4²可表為4，7，10，…，43個平方的和，又由于5²=4²＋3²，13²可表為5，8，11，…，44個平方的和．

由于12²可表為4個6²的和，6²可表為4個3²的和，所以13²=12²＋4²＋3²可表為3，6，9，…，33個平方的和．

為18＋2×9=36，18＋2×12=42個平方的和．再由4²為4個2²的和，13²也可表為39個平方的和．

綜上所述，13²可表為1，2，…，44個平方的和．

3．令n=2^k×13．

因為13²可表為1，2，…，155個平方的和，2²可表為4個平方的和，所以13²×2²可表為1，2，…，155×4個平方的和，13²×2⁴可表為1，2，…，155×4²個平方的和，…，n²=13²×2^2k可表為1，2，…，155×4^k個平方的和．

s（n）=n²－14

A5－029  每個正整數都可以表示成一個或者多個連續正整數的和．試對每個正整數n，求n有多少種不同的方法表示成這樣的和．

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