第二十七講代數：關于集合、數、式之一
來源：www.jiajiao100.com 文章作者：dfss 2008-11-04 09:36:23
B1－001 把含有12個元素的集分成6個子集，每個子集都含有2個元素，有多少種分法？
【題說】1969年～1970年波蘭數學奧林匹克三試題5．
【解】將12個元素排成一列有12！種方法．排定后，從左到右每2個一組就得到6個2元子集．同一組中2個元素順序交換得到的是同一子集．6個子集順序交換得到的是同樣的分法，因此共有
種不同的分法．
[別解]設a1是集中的一個元素，將a1與其余11個元素中的任一個結合，就得到含a1的2元子集，這種2元子集共有11種．
確定含a1的子集后，設a2是剩下的一個元素，將a2與其余9個元素中的任一個結合，就得到含a2的2元子集，這種子集共有9種．
如此繼續下去，得到6個2元子集．共有11×9×7×5×3=10395種分法．
B1－002 證明：任一個有限集的全部子集可以這樣地排列順序，使任何兩個鄰接的集相差一個元素．
【題說】1971年～1972年波蘭數學奧林匹克三試題5．
【證】設有限集A含n個元素．當n=1時，子集序列φ，A即滿足條件．
假設n=k時命題成立，對于k＋1元集
A=｛x1，x2，…，xk+1｝
由歸納假設，{x1，x2，…，xk}的子集可排成序列
B1，B2，…，Bt （t=2k）
滿足要求．因此A的子集也可排成序列
B1，B2，…，Bt，Bt∪{xk+1}，Bt-1∪{xk+1}，…，B2∪{xk+1}B1∪{xk+1}，滿足要求．
于是命題對一切自然數n均成立．
B1－003 設1≤r≤n，考慮集合{1，2，3，…，n}的所有含r個元素的子集及每個這樣的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切這樣的子集各自的最小元素的算術平均數．證明：
【題說】第二十二屆（1981年）國際數學奧林匹克題2．
這n－k個數中選出）．所以
將（1）式右邊的和寫成一個表
將上表每一行加起來，再將這些行和相加便得（1）的右邊的分子，現
B1－004 定義一個數集的和為該集的所有元素的和．設S是一些不大于15的正整數組成的集，假設S的任意兩個不相交的子集有不相同的和，具有這個性質的集合S的和的最大值是多少？
【題說】第四屆（1986年）美國數學邀請賽題12．
【解】先證明S元素個數至多是5．如果多于5個，則元素個數不
S的元素個數≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65．如果S的和≥62，則S的元數為5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）．這時S中無其它的連續整數，因而只有一種情況即｛15，14，13，11，9），不難看出它不滿足條件．
所以，S的和≤61．特別地，S={15，14，13，11，8}時，和取最大值61．
B1－006 對有限集合A，存在函數f：N→A具有下述性質：若|i－j|是素數，則f（i）≠f（j），N={1，2，…}．求有限集合A的元素的最少個數．
【題說】1990年巴爾干地區數學奧林匹克題4．
【解】1，3，6，8中每兩個數的差為素數，所以f（1），f（3），f（6），f（8<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; m
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