B1-038  設f(z)=z²+az+b是具有復系數a，b的關于復變量z的二次三項式，且對一切z(｜z｜=1)有｜f(z)｜=1．求a和b的值．

【題說】1993年河北省賽二試題1．

【解】令z=±1，±i得

1=｜1+a+b｜

1=｜1-a+b｜

1=｜-1+ia+b｜

1=｜-1-ia+b｜

相加得

4=｜1+a+b｜+｜1-a+b｜+｜-1+ia+b｜+｜-1-ia+b｜

≥｜(1+a+b)+(1-a+b)+(1-ia-b)+(1+ia-b)｜=4

從而1+a+b，1-a+b，1-ia-b，1+ia-b四個復數作為向量來看，方向相同，而它們的長又均為1．于是a=0，b=0．

另一方面，在a=b=0時，f(z)=z²．對一切滿足｜z｜=1的z，｜f(z)｜=｜z｜²=1．

 

B1-039  證明：實數x是有理數的充分必要條件是：能從數列x、x+1，…，x+n，…中選出3個不同的項，組成等比數列．

【題說】第二十五屆(1993年)加拿大數學奧林匹克題2．

【證】(1)充分性 設x+i、x+j、x+k成等比數列，則

(x+j)²=(x+i)(x+k)

=((x+j)-(j-i))((x+j)+(k-j))

=(x+j)2+(k+i-2j)(x+j)-(k-j)(j-i)

從而 (k+i-2j)(x+j)=(k-j)(j-i)≠0

p+2)q成等比數列．

事實上，這時

 

B1-040  對每一個整數n≥2，確定并證明滿足下列等式：

aⁿ=a+1 及 b²ⁿ=b+3a

的兩個正實數a，b誰大．

【題說】第二十二屆(1993年)美國數學奧林匹克題1．

【解】我們證明對一切n≥2，有a＞b．

顯然a≠1，從而(a+1)²＞4a．假設b≥a，則得到如下兩個互相矛盾的結果：

及

故a＞b．

 

B1-041  已知n個正整數a_i(1≤i≤n)滿足a₁＜a₂＜…＜a_n≤2n．其中任意兩個a_i，a_j(i≠j)的最小公倍數都大于2n．

【題說】1994年上海市賽高三二試題1．

【證】將每個a_i寫成2^αi(2t_i-1)的形式，其中α_i為非負整數，t_i為自然數．對任意的i≠j，因[a_i，a_j]＞2n，故2t_i-1≠2t_j-1．由此推知，2t₁-1，2t₂-1，…，2t_n-1是1，3，…，2n-1的一個排列．

-1的正奇數．因6t₁-3≠2t₁-1，故存在j＞1，使6t₁-3=2t_j-1．于是

 

B1-043  設K₁＜K₂＜K₃＜…是正整數，且沒有兩個數是相鄰的，S_m=K₁+K₂+…+K_m，m=1，2，3，…．證明：對每一個正整數n，區間[S_n，S_n+1)中至少有一個完全平方數．

【題說】第二十三屆(1994年)美國數學奧林匹克題 1．

S_n=K_n+K_n-1+K_n-2+…+K₁

≤K_n+(K_n-2)+(K_n-4)+…+L_n

其中L_n=2，如果K_n是偶數；L_n=1，如果K_n是奇數，由此可得

 

B1-045  求滿足下列等式的數a<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-ha