A1－019 n為怎樣的自然數時，數

3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ

是合數？

【題說】 第二十四屆（1990年）全蘇數學奧林匹克十一年級題5

【解】 3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ＝（3ⁿ－2ⁿ）（3^n＋1＋2^n＋1）

當 n＞l時，3ⁿ－2ⁿ＞1，3^n＋1＋2^n＋1＞1，所以原數是合數．當 n＝1時，原數是素數13．

    A1－020 設n是大于6的整數，且a₁、a₂、…、a_k是所有小于n且與n互素的自然數，如果

a₂－a₁＝a₃－a₂＝…＝a_k－a_k－1＞0

求證：n或是素數或是2的某個正整數次方．

【題說】 第三十二屆（1991年）國際數學奧林匹克題2．本題由羅馬尼亞提供．

【證】 顯然a₁＝1．

由（n－1，n）＝1，得 a_k＝n－1．

令 d＝a₂－a₁＞0．

當a₂＝2時，d＝1，從而k＝n－1，n與所有小于n的自然數互素．由此可知n是素數．

當a₂＝3時，d＝2，從而n與所有小于n的奇數互素．故n是2的某個正整數次方．

設a₂＞3．a₂是不能整除n的最小素數，所以2|n，3|n．由于n－1＝a_k＝1＋（k－1）d，所以3 d．又1＋d＝a₂，于是3 1＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，則a₃＝1＋2d，這時3|（a₃，n）．矛盾．若1＋2d≥n，則小于n且與n互素自然數的個數為2．

設n＝2m（＞6）．若m為偶數，則m＋1與n互質，若m為奇數，則m＋2與m互質．即除去n－1與1外、還有小于n且與n互質的數．矛盾．

綜上所述，可知n或是素數或是2的某個正整數次方．

A1－021 試確定具有下述性質的最大正整數A：把從1001至2000所有正整數任作一個排列，都可從其中找出連續的10項，使這10項之和大于或等于A．

【題說】 第一屆（1992年）中國臺北數學奧林匹克題6．

【解】 設任一排列，總和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，將它分為100段，每段10項，至少有一段的和≥15005，所以

A≥15005

另一方面，將1001～2000排列如下：

2000       1001       1900       1101       1800

1201       1700       1301       1600       1401

1999       1002       1899       1102       1799

1202       1699       1302       1599       1402

…    …    …    …    …    …

1901       1100       1801       1200       1701

1300       1601       1400       1501       1300

并記上述排列為

a₁，a₂，…，a₂₀₀₀

（表中第i行第j列的數是這個數列的第10（i－1