（第一試）

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1、對(duì)于每個(gè)自然數(shù)，拋物線與軸交于A_n，B_n兩點(diǎn)，以|A_nB_n|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A₁B₁|＋|A₂B₂|＋…＋|A₁₉₉₂B₁₉₉₂|的值是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2、已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）。

3、設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，它們的最大值為S，記，則一定滿足（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

4、在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別記為，且，都是方程的根，則△ABC（ ）。

（A）是等腰三角形，但不是直角三角形；（B）是直角三角形，但不是等腰三角形；

（C）是等腰直角三角形；（D）不是等腰三角形，也不是直角三角形。

5、設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B，且，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

6、設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系：，，則是（ ）。

（A）偶函數(shù)，又是周期函數(shù)；（B）偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)；

（C）奇函數(shù)，又是周期函數(shù)；（D）奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)。

二、填空題（每小題5分共30分）

1、設(shè)是實(shí)數(shù)，成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是 __________。

2、在區(qū)間中，三角方程的解的個(gè)數(shù)是 __________。

3、從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值是__________。

4、設(shè)，都是復(fù)數(shù)，且，，，則的值是__________。

5、設(shè)數(shù)列滿足，，且對(duì)任何自然數(shù)，都有，又，則

的值是 __________。

6、函數(shù)的最大值是 __________。

三、（20分）求證：。

四、（20分）設(shè)，是兩條異面直線，在上有A、B、C三點(diǎn)，且AB＝BC，過(guò)A、B、C分別作的垂線AD、BE、CF，垂足依次是D、E、F，已知AD＝，BE＝，CF＝，求與的距離。

五、（20分）設(shè)是自然數(shù)，，令。

（1）求證：；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（第二試）

一、（35分）設(shè)A₁A₂A₃A₄為⊙O的內(nèi)接四邊形，H₁、H₂、H₃、H₄依次為△A₂A₃A₄，△A₁A₃A₄，△A₁A₂A₄，△A₁A₂A₃的垂心。求證：H₁、H₂、H₃、H₄四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置。

二、（35分）設(shè)集合，若X是的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為的奇（偶）子集。

（1）求證的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等。

（2）求證：當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。

（3）當(dāng)時(shí)，求的所有奇子集的容量之和。

三、（35分）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，任取6個(gè)格點(diǎn)滿足（1），， ，（2）任何三點(diǎn)不在同一條直線上。試證：在以為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形，它的面積不大于2。