小學奧數(shù)競賽專題之速算與巧算

　　[專題介紹]:計算是數(shù)學的基礎(chǔ)，小學生要學好數(shù)學，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。

　　速算與巧算主要加法的基準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。

　　[經(jīng)典例題]1四年級一班第一小組有10名同學，某次數(shù)學測驗的成績（分數(shù)）如下：

　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

　　求這10名同學的總分。

　　[分析]：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：

　　6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數(shù)比80小。于是得到

　　總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-

　�。�800＋9＝809。

　　實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：

　　通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。

　　例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：

　　總和數(shù)=基準數(shù)×加數(shù)的個數(shù)+累計差，

　　平均數(shù)=基準數(shù)+累計差÷加數(shù)的個數(shù)。

　　在使用基準數(shù)法時，應選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數(shù)應盡量選取整十、整百的數(shù)。

　　例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：

　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。

　　解：選基準數(shù)為450，則

　　累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

　�。�50，

　　平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455（千克）。

　　答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。

　　“同補”與“補同”速算法

　　兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。

　　例1（1）76×74＝？（2）31×39＝？

　　分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。

　�。�1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到

　　76×74

　�。剑�7＋6）×（70+4）

　　＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4

　　＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4

　�。�70×（70＋6＋4）＋6×4

　　＝70×（70＋10）＋6×4

　　＝7×（7+1）×100＋6×4。

　　于是，我們得到下面的速算式：

　　（2）與（1）類似可得到下面的速算式：

　　由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是：

　　積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。

　　例2（1）78×38＝？（2）43×63＝？

　　分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。

　�。�1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到

　　78×38

　�。剑�70＋8）×（30＋8）

　�。剑�70＋8）×30＋（70＋8）×8

　�。�70×30+8×30＋70×8＋8×8

　�。�70×30＋8×（30＋70）＋8×8

　　＝7×3×100＋8×100＋8×8

　�。剑�7×3＋8）×100＋8×8。

　　由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)。“補同”速算法簡單地說就是：

　　積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。

　　例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？

　　我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是10，100，1000，…時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。

　　在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，

　　等都是“同補”型。

　　當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，

　　等都是“補同”型。

　　在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。

　　例3（1）702×708=？（2）1708×1792＝？

　　計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。

　　注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應占乘積的后2n位，不足的位補“0”。

　　在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。

　　例42865×7265＝？

　　求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。

　　例3求292和822的值。

　　解：292=29×29

　　＝（29＋1）×（29-1）＋12

　　＝30×28＋1

　�。�840+1

　�。�841。

　　822＝82×82

　　＝（82－2）×（82＋2）＋22

　�。�80×84＋4

　�。�6720+4

　�。�6724。

　　由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。

　　由湊整補零法計算352，得

　　35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。

　　這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。

　　例4求9932和20042的值。

　　解：9932=993×993

　�。剑�993＋7）×（993-7）+72

　　＝1000×986＋49

　�。�986000＋49

　　＝986049。

　　20042=2004×2004

　�。剑�2004-4）×（2004+4）＋42

　�。�2000×2008＋16

　　＝4016000＋16

　�。�4016016。

　　下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。

　　請看下面的算式：

　　66×46，73×88，19×44。

　　這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。

　　例588×64＝？

　　分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到

　　88×64

　�。剑�80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　�。�80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（6＋1）。

　　例677×91＝？

　　解：由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。

　　用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。