小學數學解題思路訓練——111.111是平方數嗎
 
    自然數的平方――12，22，32.叫做平方數。要是一根火柴表示數字1，那么，不管用多少根火柴擺成111.111也不可能是平方數，除非只有一根火柴，可以得1=12.

    為什么呢？

    你已經算過：

    （2n）2=4n2；

    （2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1.

    這就是說，平方數有這樣的特點：偶數的平方除以4 余0，奇數的平方除以4 余1.換句話說，要是一個整數除以4，余數不是0 或者不是1，那它就不是平方數。

    我們知道，100，1000，10000，。都是4 的倍數。所以，一個正整數除以4 的余數，就是它的末兩位數字所組成的數除以4 的余數。

    這樣，111.111 除以4 的余數，就是11 除以4 的余數，也就是3.根據前面所說，111.111 不是平方數。

    同樣的道理，22，222，2222，55，555，5555，66，666，6666，99，999，9999，都不是平方數。

    平方數除以4 余0 或者1.可是，除以4 余0 或者1 的自然數，不一定是平方數。例如，33 就不是平方數。

    33，333，3333，。除以4 都余1，其中有沒有平方數，用上面的方法是無法判別的。不過，根據乘法，一個自然數的平方的個位數字是：

    0×0=0，1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，5×5＝25，6×6＝36，7×7=49，8×8＝64，9×9＝81.

    也就是平方數的個位數字只能是0，1，4，5，6，9.所以，33，333，3333，77，777，7777，88，888，8888，都不是平方數。

    44，444，4444，呢？因為平方數與非平方數的積是非平方數，所以，44＝4×11，444=4×111，4444＝4×1111，都不是平方數。

    一個自然數的個位數字，就是它除以10 的余數。所以，上面所用的方法，就是根據一個自然數除以4 或者除以10 的余數，來證明它不是平方數的。