小學數(shù)學解題思路訓練——成對的冪數(shù)

　　一個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的整數(shù)冪（冪指數(shù)大于1），或者是幾個自然數(shù)的整數(shù)冪（冪指數(shù)都大于1）的乘積，那這個自然數(shù)就叫做冪數(shù)。

　　4=22，8=23，9=32，72=23×32，就都是冪數(shù)。

　　8和9是兩個連續(xù)的冪數(shù)。請你想一想，能不能再舉幾對連續(xù)的冪數(shù)？

　　更進一步，能不能證明有無窮多對連續(xù)的冪數(shù)？

　　這個題是不容易。不過，你能想到已經(jīng)算過的（2n+1）2=4n（n+1）+1它又變得容易了。

　　你看，要是n、n＋1是一對連續(xù)的冪數(shù)，而且4是冪數(shù)，那么4n（n＋1）是冪數(shù)，4n（n＋1）＋1＝（2n＋1）2也是冪數(shù)。這樣，我們使得到了：

　　4n（n＋1）與4n（n＋1）＋1是一對連續(xù)的冪數(shù)。

　　從8與9，可得到4×8×9與4×8×9＋1是一對連續(xù)的冪數(shù)。從這對冪數(shù)又可造出一對更大的連續(xù)的冪數(shù)。這樣繼續(xù)的造下去，可見有無窮多對連續(xù)的冪數(shù)。

　　現(xiàn)在，再來考慮一個問題：

　　找出自然數(shù)a1，a2，a3，使得a12+a22，a12+a22+a32，a12+a22+a32+a42，都是平方數(shù)。

　　你已經(jīng)算過：

　　（2k+1）2+[2k（k+1）]2=（2k2+2k+1）2表明一個奇數(shù)2k＋1的平方加上另一個偶數(shù)2k（k＋1）的平方，還是一個奇數(shù)的平方。

　　要是取2k＋1＝3，得a12+a22=32+42=52再取2k＋1＝5，得a12+a22+a32＝52+122=132.

　　再取2k＋1＝13，得a12+a22+a32+a42，＝132+842=852.

　　繼續(xù)下去，便得到所需要的一串數(shù)a1，a2，a3，這樣算算看看想想，收獲不小。