小學三年級奧數趣題

　　圖1中的幻方滿足

　　8+1+6=4+9+2

　　但你可能沒有注意到另一種特性：

　　82+12+62=42+92+22

　　同樣的，

　　8+3+4=6+7+2

　　且

　　82+32+42=62+72+22

　　其他3×3幻方是否具有同樣的性質？再檢查一下圖2與圖3中幻方外側的行(或列)中的數字平方和是否相等．這是否恒為真？

　　諸如此類，數字和與乘方的和都相等的一組數字，可稱為多階形式(multigrades)．前面所討論的都是二階形式，下面則是三階形式的一個例子：

　　1+5+8+12=2+3+10+11

　　12+52+82+122=22+32+102+112

　　13+53+83+123=23+33+103+113

　　或許你會以為要找到具有這種性質的數字很困難，其實并非如此．

　　假設我們把上一個例子中的每一個數字加上2，則

　　3+7+10+14=4+5+12+13

　　不只如此，

　　32+72+102+142=42+52+122+132

　　而且

　　33+73+103+143=43+53+123+133

　　請研究加上其他數字的結果．但我們究竟要如何找出多階形式？先從簡單的等式開始：

　　1+5=2+4

　　如將各項加5：

　　6+10=7+9

　　將等號兩邊交叉合并，就可以形成二階形式：

　　1+5+7+9=2+4+6+10

　　12+52+72+92=22+42+62+102

　　加至每一項的數字5，是使所有多階形式中的數字都不相同的最小數字．形成三階形式的方法也是一樣，不過也是以二階形式為基礎的．

　　將10加至上式各項即得：

　　11+15+17+19=12+14+16+20

　　然后兩邊交叉合并，就可以得到：

　　1n+5n+7n+9n+12n+14n+16n+20n

　　=2n+4n+6n+10n+11n+15n+17n+19n

　　其中n=1、2或3．用你的計算器來驗算是否正確．

　　假設以下式開始：

　　1+5=2+4

　　然后各項加4，而不是加5，這時二階形式所包含的數字為：

　　(1，5，6，8)與(2，4，5，9)

　　而這可減少為

　　(1，6，8)和(2，4，9)

　　因5為相同的數字．

　　事實上，這就是開始時所介紹的3×3幻方中的數字．

　　現在將這些數字加上5，并利用前述交叉合并的程序，即可得出三階形式：

　　(1，6，8，7，9，14)與(2，4，9，6，11，13)

　　但6和9為共同的部分，故將它們去掉．這樣，我們得到：

　　1+8+7+14=2+4+11+13

　　12+82+72+142=22+42+112+132

　　13+83+73+143=23+43+113+133

　　試著設計出你自己的多階形式．只要重復上述的程序，你也可以輕易地作出四階、五階或更高階的形式．