小學三年級奧數趣題

　　歐洲人開始研究幻方的時間大約是在15世紀前期．當時阿格利帕(Agrippa)作出了3至9階的所有幻方．從古到今，數字對許多人而言帶有一絲神秘色彩(例如一般人常認為13不吉利)，而幻方也的確有其特殊之處．藝術家丟勒(Dürer)在其名為《憂郁》(Melancholy)的版畫中，就將創作年份1514記在4×4的幻方中(圖1)．

　　在這個幻方中，行、列與主對角線的數字和皆為34．除此之外，在這個幻方中，還有許多位置對稱的4個數字的和等于34，例如：16、13、4、1與3、8、14、9．你能找到其他的數字嗎？

　　用1、2、…16這些數字，可以作出880個不同的4×4幻方．弗蘭尼柯(Frénicle)在1693年將這些幻方全部予以公布．但并不是每一個幻方都具有如丟勒幻方的對稱性；有些只具有幻方的基本性質，稱為簡單幻方；還有一些稱為納西克(Nasik)的幻方，則被認為是最完美，而且是比丟勒幻方更富于對稱性的幻方．下面各舉一例(圖2和圖3)．

　　請試著在上面兩個幻方中，找出4個具有對稱性且總和為34的數字．試試你能用1到16的數字組合出多少不同的4×4幻方．

　　要作出偶數階的幻方并沒有特殊的好方法，但對于奇數階的幻方，有一種由梅茲利亞克(BachetdeMéziriac)發明的方法卻很值得介紹．圖4所示為這種方法在5×5幻方中的應用，此方法對其他任何奇數階的幻方也同樣適用．

　　首先如圖4所示，將5×5方陣展開成菱形．現在由最左邊的格子開始，沿對角線依序將數字填入，至最上方的格子為止．以此類推，如圖4所示．然后想象一下，將方陣外的數字滑入方陣的另一邊，但不改變其相對位置，結果就能形成幻方．

　　特別值得一提的幻方是歐拉(Euler)的8×8幻方，這也就是“馬的路徑”．顯然維多利亞時代的謎題大師杜德尼(H.E.Dudeney)并不知道歐拉的發現，因為他在研究此類幻方時曾表示：“是否能找到完美的解答？我認為并不可能，不過這只是我個人誠實的意見而已．”