有一種叫“24點(diǎn)”的游戲曾經(jīng)風(fēng)靡美國(guó)、日本等許多國(guó)家，深受青少年朋友的喜愛。這種游戲?qū)�兩張王牌去掉，把A、J、Q、K分別看作1點(diǎn)，11點(diǎn)、12點(diǎn)、13點(diǎn)，或者將它們均看1點(diǎn)，其余牌面是幾點(diǎn)，就是幾點(diǎn)。

    玩的規(guī)則不盡相同，其中有一種方法是：

    （1）四個(gè)人每人抓到13張牌，每人每次從手中任意抽取一張牌。

    （2）參加游戲者對(duì)這四張牌所代表的數(shù)值進(jìn)行＋、－、×、÷、（）運(yùn)算，使結(jié)果為24。

    （3）誰(shuí)先列出，誰(shuí)就得1分，牌入底；若四人均無(wú)法列出，則無(wú)人得分，牌也入底。

    （4）再次每人任意抽取一張牌，再次按（2）（3）規(guī)則進(jìn)行。

    （5）重復(fù)（2）、（3）、（4），直至每人手中13張牌全部用完為一局，得分多者為勝。

    例如，抽出的四張牌為3、4、7、11，可以這樣計(jì)算：

    （7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24

    這是一種非常有趣的游戲，下面我們一起來(lái)試一試：

    例1  抽出下面四組牌：（A，J，Q，K分別為1點(diǎn)，11點(diǎn)，12點(diǎn)，13點(diǎn)）

    （1）2，3，4，5         （2）3，4，5，10

    （3）K，7，9，5         （4）J，6，Q，5

    你能算出24點(diǎn)嗎？

    分別：要想比賽獲勝，必須有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎樣的兩個(gè)數(shù)求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……這樣就可以把問題轉(zhuǎn)化成怎樣使用4個(gè)數(shù)，湊出兩個(gè)數(shù)的問題，其中有一點(diǎn)值得大家注意，就是四個(gè)數(shù)的順序可以依據(jù)需要任意安排。

    解：（1）依據(jù)2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，

    （2）依據(jù)3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，

    （3）依據(jù)4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，

    （4）依據(jù)18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24

    說(shuō)明：上面各題的解法并不一定是唯一的，如依據(jù)4×6＝24，也可得第（2）組為4×（10×3÷5）＝24，可是，就因?yàn)檫@樣，才非常激烈、刺激。

    例2  如果恰巧四個(gè)人抽出的撲克牌是“1～9”中的同一數(shù)字的牌，請(qǐng)你幫忙想一想哪種情況可以算出“24”？怎樣算？

    分析：四人抽出同一數(shù)字的牌有9種情況，4個(gè)1，4個(gè)3，4個(gè)4……4個(gè)8，4個(gè)9，現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為如何使四個(gè)相同的數(shù)字（1~9中的一個(gè)）填加運(yùn)算符號(hào)，得“24”的問題。由于4個(gè)數(shù)字相同，用乘法關(guān)系最后求得“24”就不太容易，應(yīng)考慮＋、－關(guān)系，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……經(jīng)過(guò)嘗試，我們發(fā)現(xiàn)，4個(gè)1，4個(gè)2，由于數(shù)太小，無(wú)法算出“24”，而4個(gè)7，4個(gè)8，4個(gè)9由于太大，也無(wú)法算出。其余可以實(shí)現(xiàn)。

    解：依據(jù)27－3＝24 ，可得3×3×3－3＝24，

    依據(jù)20＋4＝24 ，可得4×4＋4＋4＝24，

    依據(jù)25－1＝24 ，可得5×5－5÷5＝24，

    依據(jù)12＋12＝24 ，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，

    說(shuō)明：有些不能算出24，可能是由于我們知識(shí)水平的限制，而并非真的不能，如請(qǐng)同學(xué)們想一想4個(gè)10，4個(gè)11，4個(gè)12，4個(gè)13你能求解嗎？

    由上面的例子，我們可以很自然地想到這種游戲可以發(fā)展成一類專門的數(shù)學(xué)的問題，下面我們就來(lái)研究。

    例3  填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使算式成立

    （1）4 4 4 4＝5

    （2）4 4 4 4＝6

    （3）4 4 4 4＝7

    （4）4 4 4 4＝8

    （5）4 4 4 4＝9

    （6）4 4 4 4＝10

    分析：（1）4 4 4 4＝5，最后一個(gè)4前面是三個(gè)4，如可湊出1，1＋4＝5，如可湊出20，20÷4＝5，4×4 ＋4＝20，因此可求解。

    （2）4 4 4 4＝6，最后一個(gè)4前面是三個(gè)4，如可湊出2，2＋4＝6；即（4＋4）÷4＝2，因此可求解。

    （3）4 4 4 4＝7，前面兩個(gè)4＋4＝8，后面兩個(gè)4得1即可求解，4÷4＝1剛剛好。

    （4）和（6）可利用（3）的思路稍加變化就可以求解。

    （5）4 4 4 4＝10，最后一個(gè)4，前面如是6，6＋4＝10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4＝10也可以求解，44－4＝40，數(shù)字連用在這類題目中是常用的一種技巧。（題目中沒有限制，當(dāng)然是可以這樣做的）。

    解：

    （1）（4×4＋4）÷ 4＝5

    （2）（4＋4）÷4＋4＝6

    （3）（4＋4）－4÷4＝7

    （4）（4＋4）×4÷4＝8

    （5）（4＋4）+4÷4＝9

    （6）（44－4）÷4＝10

    說(shuō)明：（1），（2），（6）中的解題思路是一種倒推的方法，這是一種常用的，行之有效的方法同學(xué)們加以掌握。（4），（5）中解題思路是依據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，這種方法，依賴于良好的數(shù)感，需要大家經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練才能獲得。

    例4  不用（），且運(yùn)算符號(hào)不超過(guò)三次，添在適當(dāng)位置，使下面的算式成立。

    9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

    分析：不使用（），運(yùn)算順序只能從左往右，先×、÷后＋、－；運(yùn)算符號(hào)不超過(guò)三次，就會(huì)得到一些多位數(shù)。首先選一個(gè)多位數(shù)盡可能接近1000，可選999，1000－999＝1，后面6個(gè) 9要得到“1”，就很簡(jiǎn)單了999÷999，問題可求解；還可以用另一種方法接近1000，9999÷9＝1111，1111－1000＝111，后面9999想辦法等于111，999÷9＝111，問題也可解出。

    解：999＋999÷999＝1000

    9999÷9－999÷9＝1000

    說(shuō)明：先靠近所求數(shù)，再進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，這是一種非常行之有效的方法，在數(shù)字比較多時(shí)常常用到。當(dāng)然此題還有其它方法，同學(xué)們

    可以用上面的思路再試一試。

    例5  填入適當(dāng)運(yùn)算符號(hào)，使下式成立。

    9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000

    分析：此題中9~1九個(gè)數(shù)字各不相同，位置固定，初看與前面的例題有很大不同，但是經(jīng)仔細(xì)讀題，認(rèn)真分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，做此題時(shí)，＋、－、×、÷（）均可使用，運(yùn)算符號(hào)用多少次沒有限制，數(shù)字可以連用，也可以分開，條件很寬松。由于1000數(shù)比較大，我們也采用例4中靠近結(jié)果，再湊較小數(shù)的方法解決。可以用987＋6＝993，再用5 4 3 2 1湊成7即可，這個(gè)方法就很多了。還可以取前邊987和后邊的21相加得1008，中間的6 5 4 3 湊成8就行了。

    解：987＋6＋5－4＋3×2×1＝1000

    987＋6＋5＋4－3+2－1＝1000

    987＋6＋（5－4）×（3×2＋1）＝1000

    987＋6＋5＋（4－3）×2×1＝1000

    987－（6－5＋4＋3）＋21＝1000

    說(shuō)明：此題還有許多解決，但不論哪種方法，都遵循先靠近結(jié)果，再湊較少數(shù)的原則，大家可以再想想，你還能想到什么方法？

    例6  在下列算式中合適的地方，填上括號(hào)，使算式成立。

    （1）4＋5×6＋8÷4－2＝30

    （2）4＋5×6＋8÷4－2＝39

    （3）4＋5×6＋8÷4－2＝21

    （4）4＋5×6＋8÷4－2＝140

    分析：（1）從最后一步逆推，減2前面的式子得32，還從后面入手，這就需要4＋5×6＋8，填上適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)得128，嘗試發(fā)現(xiàn)括號(hào)的填法有兩種（4＋5）×6＋8，4＋5×（6＋8），分別得128，74，因此括號(hào)的填法為[（4＋5）×6＋8] ÷4－2＝30

    （2）從最后一步逆推，減號(hào)前面的式子要得41，還從后面入手要求4＋5×6＋8＝41×4這是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。從前面入手考慮，就應(yīng)設(shè)法使5×6＋8÷4－2＝35，還從前面想這就需要6＋8÷4－2＝7，可從這樣實(shí)現(xiàn)（6＋8）÷（4－2）。因此括號(hào)的填法為4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

    （3）從后面減2前面的式子得23才能有解，可4＋5×6＋8÷4無(wú)論如何填加括號(hào)，都不可能現(xiàn)實(shí)。把4－2放在一個(gè)括號(hào)里等于2，i除號(hào)前面的式子就要得42，通過(guò)觀察容易發(fā)現(xiàn)，4＋5×6＋8按順序計(jì)算就可得42，所以此題括號(hào)的填法是（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

    （4）140比較大，應(yīng)充分發(fā)揮“×”的作用，使“×”左右兩側(cè)的因數(shù)盡可能大，即（4×5）×（6＋8）＝280，再縮小2倍，就是所求結(jié)果，正好“÷”后面4－2＝2，所以此題括號(hào)的填法是（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

    解：

    （1）[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30

    （2）4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

    （3）（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

    （4）（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

    說(shuō)明：填括號(hào)時(shí)既可以用“（）”，也可以根據(jù)需要用“[]”，從一端想起經(jīng)過(guò)嘗試，淘汰，最終可以找到解題方法。

閱讀材料

    數(shù)學(xué)符號(hào)的起源

    數(shù)學(xué)除了記數(shù)以外，還需要一套數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示數(shù)和數(shù)、數(shù)和形的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明和使用比數(shù)字晚，但數(shù)量多得多�，F(xiàn)在常用的200多個(gè)，初中數(shù)學(xué)書里就不下20多種。他們都有一段有趣的經(jīng)歷。例如：（1）加號(hào)曾經(jīng)有好幾種，現(xiàn)在通用“+”號(hào)。“+”號(hào)是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來(lái)的。也有人說(shuō)，賣酒的商人用“-”表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當(dāng)把新酒灌入大桶的時(shí)候，就在“-”上加一豎，意思是把原線條勾銷。這樣就成了個(gè)“+”號(hào)。到了十五世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏德美正式確定：“+”用作加號(hào)，“-”號(hào)用作減號(hào)。（2）乘號(hào)曾經(jīng)用過(guò)十幾種，現(xiàn)在通用兩種。一個(gè)是“×”，最早是英國(guó)數(shù)學(xué)家奧屈特1631年提出的；一個(gè)是“•”，最早是英國(guó)數(shù)學(xué)家赫銳奧特首創(chuàng)的。德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為：“×”向拉丁字母“X”，加以反對(duì)，而贊成用“• ”號(hào)。到了十八世紀(jì)，美國(guó)數(shù)學(xué)家歐德萊確定，把“×”作為乘號(hào)，他認(rèn)為“×”是“+”斜起來(lái)寫，是另一種表示增加的符號(hào)。（3）“÷”最初作為減號(hào)，在歐洲大陸長(zhǎng)期流行。直到1631年英國(guó)數(shù)學(xué)家奧屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除線）表示除。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家拉哈在他所著的《代數(shù)學(xué)》里，才根據(jù)群眾創(chuàng)造，正式將“÷”作為除號(hào)。（4）十六世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家維葉特用“=”表示兩個(gè)量的差別�？墒怯�國(guó)牛津大學(xué)數(shù)學(xué)、修辭學(xué)教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來(lái)表示兩數(shù)量相等是最合適不過(guò)的了，于是等于符號(hào)“=”就從1540年開始使用起來(lái)。1591年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)大量使用這個(gè)符號(hào)，才逐漸為人們接受。

 

練習(xí)題

    1．在“24”點(diǎn)游戲中提出了下面幾組牌，你能很快求出“24”嗎？

    （1）1，3，5，7      （2）2，5，7，9

    （3）1，3，9，10     （4）10，4，10，4

    （5）K，Q，J，J      （6）Q，10，Q，1

    分析：（4）10×10＝100是4的25倍，100－4＝96，正好是4的24倍，所以可以這樣做（10×10－4）÷4＝24

    （5）K，Q，J，J即13，12，11，11，依據(jù)25－1＝24可得13＋12－11÷11＝24

    （6）Q，10，Q，1即12，10，12，1，依據(jù)12×2＝24可得12×（12－10）×1＝24

    解：

    （1）（5＋7）×（3－1）＝24  （2）5×7－9－2＝24

    （3）（1＋10）×3－9＝24     （4）（10×10－4）÷4＝24

    （5）13＋12－11÷11＝24     （6）12×（12－10）×1＝24

    2．在“24”點(diǎn)游戲中，抽出了下面兩組牌，你能求出“24”嗎？

    （1）3，3，7，7  （2）1，5，5，5

    分析：（1）用常用的方法無(wú)論怎么求都不能得出“24”，是否就沒有辦法了呢？當(dāng)然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

    （3＋3÷7）×7

    ＝3×7＋3÷7×7

    ＝24

    （2）用同樣的方法求解

    （5－1÷5）×5

    ＝5×5－1÷5×5

    ＝24

    解：（1）（3＋3÷7）×7＝24

    （2）（5－1÷5）×5＝24

    說(shuō)明：熟練地掌握運(yùn)算定律可以把題目化難為易，這里安排這兩個(gè)題是為了開闊同學(xué)們的眼界，拓寬同學(xué)們的思路。

    3．抽的四張牌恰好是“1～9”中從大到小連續(xù)排列的四張，這樣的牌能算出“24”嗎？

    分析：符合要求的組合有六組：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不難發(fā)現(xiàn)它們均可求出24點(diǎn)。

    解：

    （1）依據(jù)4×6＝24得8÷（9－7）×6＝24

    （2）依據(jù)2×12＝24得（7＋5）×（8－6）＝24

    （3）依據(jù)2×12＝24得（5＋7）×（6－4）＝24

    （4）依據(jù)4×6＝24得2×（3＋4＋5）＝24

    （5）依據(jù)4×6＝24得1×2×3×4＝24

    說(shuō)明：這個(gè)例子告訴我們不論從大到小，還是從小到大，連續(xù)取“1~9”中任意四個(gè)數(shù)均可湊成“24”。

    4．添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使算式成立。

    （1）6 6 6 6＝1  （2）6 6 6 6＝2

    （3）6 6 6 6＝3  （4）6 6 6 6＝4

    （5）6 6 6 6＝5  （6）6 6 6 6＝6

    分析：（1）根據(jù)A÷A＝1，可得許多種解，如（6＋6）÷（6＋6）＝1或（6×6）÷（6×6）＝1……

    （2）根據(jù)1＋1＝2，可得6÷6＋6÷6＝2
   
    （3）根據(jù)18÷6＝3，可得（6＋6＋6）÷6＝3

    （4）根據(jù)6－2＝4，可得6－[（6＋6）÷6]＝4

    （5）根據(jù)30÷6＝5，可得（6×6－6）＝5

    （6）根據(jù)0＋6＝6，可得6×（6－6）＋6＝6或（6－6）×6＋6＝0……

    解：

    （1）（6＋6）÷（6＋6）＝1   （2）（6÷6）＋（6÷6）＝2

    （3）（6＋6＋6）÷6＝3       （4）6－［（6＋6）÷6］＝4

    （5）（6×6－6）÷6＝5       （6）（6－6）×6＋6＝0

    5．用7個(gè)7組成4個(gè)數(shù)，并使運(yùn)算結(jié)果為100

    7，7，7，7，7，7，7＝100

    分析：首先要使一部分接近100，777÷7＝111，111－100＝11，后面的777湊成11就可以了77÷7＝11，所以可以這樣解：

    777÷7－77÷7＝100

    6．在9個(gè)9之間填適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使下面算式成立。

    9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2008

    分析：先要想辦法使一部分靠近“2000”，999＋999＝1998，2008－1998＝10，后面的三個(gè)9湊成10即可。

    解：999＋999＋9÷9＋9＝2008

    說(shuō)明：前六個(gè)數(shù)也可以用其他方法求得1998，如999×[（9＋9）÷9]＝1998這種題目往往不只一種解法。

    7．填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使算式成立。

    9 8 7 6 5 4 3 2 1＝2007

    分析：結(jié)果較大，先用一部分湊出與2007相接近的數(shù)，即654×3＝1962而2007－1962＝45，現(xiàn)在我們要辦法使9，8，7，2，1湊成45，而45－21＝24，9＋8＋7＝24。

    解：9＋8＋7＋654×3＋21＝2007

    8．在11～15之間，選擇恰當(dāng)位置，填上適合的運(yùn)算符號(hào)，使算式結(jié)果為100。

    11 12 13 14 15=100

    分析：原題的意思是使下式成立：

    1 1 1 2 13 14 15 ＝100

    取121靠近100，11＋121－31＝101，415湊成“1”即可有解，（4＋1）÷5＝1。還可以取111靠近100，111－21＝90，3 1 4 1 5 湊成10即可有解，3－1＋4－1＋５＝10此題還有許多方法，請(qǐng)同學(xué)們自己試一試。

    解：11＋121－31－（4＋1）÷5＝100或111－21＋3－1＋4－1 ＋5＝100

    9．現(xiàn)有的牌為1～10，請(qǐng)從中選牌，每張牌只用一次，使下列“24”點(diǎn)游戲成立。

    （1）□＋□×６＋11＝24 

    （2）（□＋5）×2＋□＝24

    （3）（□×10－□）÷4＋11＝24

    （4）□×3－□÷2＝24

    （5）□×5－4÷4＝24

    （6）13＋□×3－10＝24

    分析：觀察這六個(gè)算式，我們發(fā)現(xiàn)（5），（6）很好確定所選牌是5和7。再觀察余下的四個(gè)算式，（4）□×3－□÷2＝24，□×3>24，□可取9，10，取10時(shí)，□÷2的方塊在1~10中無(wú)值可取，所以□×3只能取9，另一個(gè)□中可以取6。

    再來(lái)觀察（3）（□×10－□）÷4＝24  24×4＝96，所以□×10－□＝96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一個(gè)方□中就只能取4。

    接下來(lái)看（1）□+□×6+11＝24，24－11＝13，□+□×6＝13，□×6<13的方格中可取1和2；取1時(shí)有7＋1×6＝13，7在（6）中已經(jīng)用過(guò)，所以□×6的方格中只能取2，另一個(gè)□中取1。

    最后觀察（2）式，現(xiàn)在只剩下3、8，（□＋5）×2為偶數(shù)，24為偶數(shù)，所以第二個(gè)□只能取8，第一個(gè)方面中取3。

    解：

    （1） ×６＋11＝24      （2）（ ＋5）×2＋ ＝24

    （3）（ ×10－ ）÷4＝24  （4） ×3－ ÷2＝24

    （5） ×5－4÷4＝24         （6）13＋□×3－10＝24

    10．在適當(dāng)?shù)奈恢弥�，填上括�?hào)，使下列算式成立。

    （1）9＋60÷3＋2×4－1＝30

    （2）9＋60÷3＋2×4－1＝56

    （3）9＋60÷3＋2×4－1＝15

    （4）9＋60÷3＋2×4－1＝45

    分析：（1）題中只有÷3，－1兩處可以使數(shù)值變小，特別值得注意的是“－”后面只有1，所以要想辦法使算式中數(shù)靠近30，又要小于30，（9＋60）÷3＝23，再使后面得7即可，2×4－1正好得7。

    （2）56是個(gè)較大的數(shù)，我們還要先靠近56，再湊小數(shù)，在中間的÷、×之間想辦法，60÷（3＋2）×4＝48，再加8就得結(jié)果了，9－1＝8。

    （3）從前端想15－9＝6，想辦法使后面部分得6，60÷10＝6，3＋2×4－1正好得10。

    （4）從前端想45－9＝36，36＝12×3＝9×4，60÷（3＋2）＝12，4－1＝3，可求解。

    解：（1）（9＋60）÷3＋2×4－1＝30

    （2）9＋60÷（3＋2）×4－1＝56

    （3）9＋60÷（3＋2×4－1）＝15

    （4）9＋60÷（3＋2）×（4－1）＝45