歐拉發現在多面體的頂點、邊與面的數目間存在著一種簡單的關系，這種關系被視為圖論（graph theory）中相當重要的定理。

    你現在應該可以自己敘述歐拉關系了。看看此關系是否也能適用于其他的多面體，檢驗一下你的推論。

    當時歐拉認為這只是多面體的性質，但后來數學家發現這種關系也能適用于球面或平面上的網絡。

    考慮如圖1的網絡。其中有3個結點A、B、C，4條弧p、q、r、s；這個網絡把平面分成3個區域1、2、3.這些數目滿足下列關系：

    N-A+R=2

    N為結點的數目，A為弧的數目，R為區域的數目。你覺得這與多面體的關系是否有什么類似之處？

    現在把上述的關系式用在其他的網絡上，試試結果如何。

    你是否試過圖2中不相連的網絡？

    你應該會發現，上述的關系式需要視網絡中分離部分的數目作修正。看看你是否能找到一個公式，不管網絡中到底有多少部分，都能成立。

    “歐拉關系”與“網絡關系”之間的聯系可以用圖3說明。

    想象一下，用具有彈性的材料做一個立方體，可以如圖3的方式伸展，然后壓平，成為平面上的網絡。原來立方體的每一個頂點現在都成為網絡中的結點，原來立方體的每一條邊現在則成為網絡中的一條弧。

    立方體的每一面現在都成為平面中的一個區域，只除了ABCD之外，不過也可以把ABCD看成是代表網絡外部的區域。所有多面體以這種方式變換都可得到類似的結果，但要注意的是，對有洞的多面體需要做進一步的考察。

    如果將多面體看作是三維空間分隔成不同區域，則對歐拉的關系式還可以作進一步推廣。

    考慮一下最簡單的多面體——四面體（圖4）。

    四面體將空間分成兩個區域，且

    V-E+F-R=4-6+4-2=0

    其中V、E、F各代表多面體的頂點、邊與面的數目，R為區域的數目。現在在立方體上加一個金字塔形的角錐體。這種組合將空間分成3個區域，包括9個頂點、16條邊與10個面（圖5）。

    我們再度得出

    V-E+F-R=0

    這是由歐拉原始的關系式推廣得出的另一個關系式。用其他的方法分割空間，檢驗一下這個關系式。