例1 在+、-、×、÷、（）中，挑出合適的符號，填入下面的數字之間，使算式成立。

　　① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1

　　② 9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000

　　分析 這兩道題等號左邊的數字各不相同，且從大到小排列，題目要求在每個數字之間都要填上運算符號，這是解題中要注意到的。

　　①中，等號右邊的得數是最小的自然數1，而等號左邊共有九個數字。

　　先考慮用逆推法：由于等號左邊最后一個數字恰好是1，與等號右邊相同，所以，可以考慮在1的前面添“+”號，這樣如果前面8個數字的運算結果是0就可以了，觀察注意到，前面8個數字每一個數都比它前面一個數小1，這樣，只要把它們分成4組，每兩數相減都得1，在兩組的前面添“+”號，兩組的前面添“-”號，即得到：

　　（9-8）＋（7-6）-（5-4）-（3-2）=0

　　或（9-8）-（7-6）+（5-4）-（3-2）=0

　　于是得到答案：

　　9-8＋7-6-（5-4）-（3-2）+1=1

　　或9-8-（7-6）+5-4-（3-2）＋1=1

　　再考慮用湊數法：注意到等號左邊每一個數都比前一個數小1，所以，只要在最前面湊出一個1，其余的湊出0即可，事實上，恰有

　　9-8+7-6-（5-4）+（3-2）-1=1

　　湊數法的解答還有很多，請同學們試一試其他的湊法。

　　②中，等號右邊是一個較大的自然數1000，而等號左邊要在每兩個數字之間添上運算符號，考慮用湊數法。

　　由于等號右邊是1000，所以，運算結果應由個位是5或0的數與一個偶數的乘積得到。

　　如果這個偶數是8，則在8的左、右兩邊都應該添“×”號，而9×8=72，而1000÷72不是整數.所以，無論在7 65 4 3 2 1之間怎樣添算符，都不能得到所要的答案。

　　如果這個偶數是6，由于1000÷6不是整數，所以，不能得到所要的結果。

　　如果這個偶數是4，那么在4的兩邊都應該添“×”號，即有：

　　9 8 7 6 5×4×3 2 1=1000.在4的右邊只有添為4×（3-2）×1才有可能使左邊的算式得1000，這時，必須有9 8 7 6 5＝250，經過試驗知，無論怎樣添算符，都不能使上面的算式成立.所以，這個偶數不能是4。

　　如果這個偶數是2，那么，在2的兩邊都應該添“×”號，即有9 8 7 6 5 4 3×2×1=1000.只要添適當的算符，使9 8 7 6 5 4 3的計算結果是500即可.再用湊數法，注意到9×8×7=504，與500很接近，只要能用6 5 4 3湊出“-”4即可.事實上，6＋5-4-3=4，所以只需

　　9×8×7-（6＋5-4-3）

　　即9×8×7-6-5＋4＋3=500

　　這樣，得到本題的答案是：

　　（9×8×7-6-5+4+3）×2×1=1000

　　②題還可以綜合運用逆推法和湊數法：由于等號右邊是1000，所以，等號左邊1的前面只能添“×”或“÷”號（事實上，“×1”與“÷1”結果是相同的），由于等號右邊的得數較大，考慮在2的前面添“×”號，于是9 8 7 6 5 4 3應湊出500，再用與上面相同的湊數法即可解決。

　　解：本題的答案是：

　　① 9-8＋7-6-（5-4）-（3-2）＋1=1

　　或9-8-（7-6）＋5-4-（3-2）＋1=1

　　或9-8＋7-6-（5-4）＋（3-2）-1=1

　　②（9×8×7-6-5+4+3）×2×1＝1000

　　補充說明：本題的結果不只一個，一般來講，填算符的問題只要得到一個答案就可以了.但是我們應該通過解題的各種方法，開闊我們的思路.所以，一題多解在我們解題中占有很重要的地位。

　　值得注意的是，雖然添算符的方法被歸結為逆推法和湊數法，但它們的運用往往不是孤立的，在求解過程中，常常要將它們結合起來。

例2 在下列算式中合適的地方，添上+、-、×、÷、（）等運算符號，使算式成立。

　　①6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1993

　　②2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝1993

　　分析 本題中兩道小題的共同特點是：等號左邊的數字比較多，且都相同，而等號右邊的數是1993，比較大.所以，考慮用湊數法，在等號左邊湊出與1993較接近的數.

　　①題中，666＋666＋666=1998，比1993大5，只要用余下的七個6湊成5就可以了，即6 6 6 6 6 6 6=5.如果把最前面一個6留下來，則只須將剩下的六個6湊成1，即6 6 66 6 6＝1，注意到6÷6=1，6-6=0，可以這樣湊 6÷6+6-6＋6-6=1，或666÷666=1。由于題目中要由1998中減掉5，所以最后的答案是：

　　666+666＋666-（6-6÷6+6-6＋6-6）=1993

　　或者666+666+666-（6-666÷666）=1993

　　②題中，等號左邊是十二個2，比①題中的數字6小，個數也比①中的少.所以，要把它們也湊成1993，應該增大左邊的數，也就是要多用乘法，仿照①題的想法，先湊出1998，可以這樣做：

　　222×（2＋2÷2）×（2＋2÷2）=1998

　　用去了九個2，余下三個2，無論怎樣也湊不出5，不行.所以要減少前面用去2的個數，由于222×9=1998，所以，我們要用幾個2湊出9，即：

　　2×2×2+2÷2，這樣，湊出1998共用去了八個2，即222×（2×2×2+2÷2）.此時，還剩下四個2，用四個2湊出5是可以的，即2+2+2÷2=5.這樣得到答案為：

　　222×（2×2×2+2÷2）-（2+2+2÷2）=1993

　　解：① 666+666+666-（6-6÷6+6-6＋6-6）

　　＝1993

　　或者 666＋666＋666-（6-666÷666）=1993

　　② 222×（2×2×2＋2÷2）-（2＋2＋2÷2）＝1993

　　補充說明：由例2的思考過程可以看到，在添運算符號時常要用到0或1，而對于相同的數（不同的數可以通過運算湊成相同的數），要想得到0，只要在它們中間添“-”號；要想得到1，只要在它們中間添“÷”號，0和1是添算符湊等式的過程中常用的非常重要的數。

例3 在下面的式子里加上（）和[]，使它們成為正確的等式。

　　①217-49×8+112÷4-2=89

　　②217-49×8+112÷4-2=1370

　　③217-49×8+112÷4-2=728

　　分析 本題只要求添括號，而括號在四則運算中的作用是改變運算的先后順序，即由原來的“先乘除，后加減”改為先做（）中的運算，再做[]中的運算，然后再按四則運算法做.所以，一般來講，括號應加在“+”、“-”運算的部分。

　　這道題中的三道小題等號左邊完全相同，而右邊是不同的數，注意到49×8=392，所以，括號不可能添在（217-49×8）上，而且每一道小題都要把217后面的減數縮小。

　　①題中，等號右邊的數比較小，所以應考慮用217減去一個較大的數，并且這個數得小于217，最好是一百多，注意到49×8+112=504，而504÷4=126.恰有217-126=91，91-2=89，即可得到答案：

　　217-（49×8+112）÷4-2=89

　　②題中，等號右邊的數比較大，所以在減小217后面的減數的同時，要注意把整個算式的得數增大，這可以通過增大乘法中的因數或減小除法中的除數實現.如果這樣做：

　　（217-49）×8，則既減小了減數，又增大了因數，計算知：（217-49）×8=1344.算式中得數是1370.注意到剩下的部分112÷4-2=26相加恰好得到答案：

　　（217-49）×8+112÷4-2＝1370

　　③題中，等號右邊的數介于①題與②題之間，所以，放大和縮小的程度也要適當，由②題的計算知：

　　（217-49）×8=1344，③題的得數是728，而算式左邊還有+112÷4-2，觀察發現，1344+112＝1456，1456÷2=728。

　　這樣可以得到③題的答案是：

　　[（217-49）×8+112]÷（4-2）＝728

　　解：① 217-（49×8+112）÷4-2=89

　　②（217-49）×8＋112÷4-2=1370

　　③[（217-49）×8＋112]÷（4-2）=728