我們在進(jìn)行競賽與競爭時(shí)，往往要認(rèn)真分析情況，制定出好的方案，使自己獲勝，這種方案就是對策.在小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中，常有與智力游戲相結(jié)合而提出的一些簡單的對策問題，它所涉及的數(shù)學(xué)知識都比較簡單.但這類題的解答對我們的智力將是一種很有益的鍛煉.
例1 甲、乙二人輪流報(bào)數(shù)，必須報(bào)不大于6的自然數(shù)，把兩人報(bào)出的數(shù)依次加起來，誰報(bào)數(shù)后加起來的數(shù)是2000，誰就獲勝.如果甲要取勝，是先報(bào)還是后報(bào)？報(bào)幾？以后怎樣報(bào)？
分析 采用倒推法（倒推法是解決這類問題一種常用的數(shù)學(xué)方法）.由于每次報(bào)的數(shù)是1～6的自然數(shù)，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要獲勝，必須使乙最后一次報(bào)數(shù)加起來的和的范圍是1994～1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993），因此，甲倒數(shù)第二次報(bào)數(shù)后加起來的和必須是1993.同樣，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒數(shù)第二次報(bào)數(shù)后加起來的和的范圍是1987～1992，甲倒數(shù)第三次報(bào)數(shù)后加起來的和必須是1986.同樣，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒數(shù)第三次報(bào)數(shù)后加起來的和的范圍是1980～1985，甲倒數(shù)第四次報(bào)數(shù)后加起來的和必須是1979，….
把甲報(bào)完數(shù)后加起來必須得到的和從后往前進(jìn)行排列：2000、1993、1986、1979、….觀察這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一等差數(shù)列，且公差d=7，這些數(shù)被7除都余5.因此這一數(shù)列的最后三項(xiàng)為：19、12、5.所以甲要獲勝，必須先報(bào)，報(bào)5.因?yàn)?2-5=7，所以以后乙報(bào)幾，甲就報(bào)7減幾，例如乙報(bào)3，甲就接著報(bào)4（=7-3）.
解： ①甲要獲勝必須先報(bào)，甲先報(bào)5；
②以后，乙報(bào)幾甲就接著報(bào)7減幾.
這樣甲就能一定獲勝.
例2 有1994個(gè)球，甲乙兩人用這些球進(jìn)行取球比賽.比賽的規(guī)則是：甲乙輪流取球，每人每次取1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)，取最后一個(gè)球的人為失敗者.
①甲先取，甲為了取勝，他應(yīng)采取怎樣的策略？
②乙先拿了3個(gè)球，甲為了必勝，應(yīng)當(dāng)采取怎樣的策略？
分析 為了敘述方便，把這1994個(gè)球編上號，分別為1～1994號.取球時(shí)先取序號小的球，后取序號大的球.還是采用倒推法.甲為了取勝，必須把1994號球留給對方，因此甲在最后一次取球時(shí)，必須使他自己取到球中序號最大的一個(gè)是1993（也許他取的球不止一個(gè)）.為了保證能做到這一點(diǎn)，就必須使乙最后第二次所取的球的序號為1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球時(shí)，必須使他自己所取的球中序號最大的一個(gè)是1989.為了保證能做到這一點(diǎn)，就必須使乙最后第三次所取球的序號為1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球時(shí)，必須使他自己取球中序號最大的一個(gè)是1985，….
把甲每次所取的球中的最大序號倒著排列起來：1993、1989、1985、….觀察這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一等差數(shù)列，公差d=4，且這些數(shù)被4除都余1.因此甲第一次取球時(shí)應(yīng)取1號球.然后乙取a個(gè)球，因?yàn)閍+（4-a）=4，所以為了確保甲從一個(gè)被4除余1的數(shù)到達(dá)下一個(gè)被4除余1的數(shù)，甲就應(yīng)取4-a個(gè)球.這樣就能保證甲必勝.
由上面的分析知，甲為了獲勝，必須取到那些序號為被4除余1的球.現(xiàn)在乙先拿了3個(gè)，甲就應(yīng)拿5-3=2個(gè)球，以后乙取a個(gè)球，甲就取4-a個(gè)球.
解： ①甲為了獲勝，甲應(yīng)先取1個(gè)球，以后乙取a個(gè)球，甲就取4-a個(gè)球.
②乙先拿了3個(gè)球，甲為了必勝，甲應(yīng)拿2個(gè)球，以后乙取a個(gè)球，甲就取4-a個(gè)球.
例3 甲、乙兩人輪流往一張圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)定每人每次只能放一枚，硬幣平放且不能有重疊部分，放好的硬幣不再移動(dòng).誰放了最后一枚，使得對方再也找不到地方放下一枚硬幣的時(shí)候就贏了.說明放第一枚硬幣的甲百戰(zhàn)百勝的策略.
分析 采用“對稱”思想.
設(shè)想圓桌面只有一枚硬幣那么大，當(dāng)然甲一定獲勝.對于一般的較大的圓桌面，由于圓是中心對稱的，甲可以先把硬幣放在桌面中心，然后，乙在某個(gè)位置放一枚硬幣，甲就在與之中心對稱的位置放一枚硬幣.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬幣，根據(jù)圓的中心對稱性，甲定能找到與這一位置中心對稱的地方放上一枚硬幣.由于圓桌面的面積是有限的，最后，乙找不到放硬幣的地方，于是甲獲勝.
解： （略）.
例4 把一棋子放在如右圖左下角格內(nèi)，雙方輪流移動(dòng)棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一個(gè)方向移動(dòng)任意多格.誰把棋子走進(jìn)頂格，奪取紅旗，誰就獲勝.問應(yīng)如何取勝？
分析 采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走進(jìn)頂格，應(yīng)讓對方最后一次把棋子走到最右邊一列的格中，為了保證能做到這一點(diǎn)，倒數(shù)第二次應(yīng)讓棋子走進(jìn)右圖中的A格中.（對方從A格出發(fā)，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要獲勝，應(yīng)先占據(jù)A格.同理可知，每次都占據(jù)A～E這五個(gè)格中的某一格的人一定獲勝.
解： 為保證取勝，應(yīng)先走.首先把棋子走進(jìn)E格，然后，不管對方走至哪一格，（肯定不會(huì)走進(jìn)A～D格），先走者可以選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ徊阶哌M(jìn)A～D格中的某一格.如此繼續(xù)，直至對方把棋子走進(jìn)最后一列的某個(gè)格中，此時(shí)先走者一步即可走進(jìn)頂格，奪取紅旗，從而獲勝.
例5 白紙上畫了m×n的方格棋盤（m，n是自然數(shù)），甲、乙兩人玩畫格游戲，他們每人拿一枝筆，先畫者任選一格，用筆在該格中心處畫上一個(gè)點(diǎn)，后畫者在與這個(gè)格相鄰（有一條公共邊的兩個(gè)格叫相鄰的格）的一個(gè)格的中心處也畫上一個(gè)點(diǎn)，先畫者再在與這個(gè)新畫了點(diǎn)的格相鄰的格的中心畫上一個(gè)點(diǎn)，后畫者接著在相鄰的格中再任選一格畫上一個(gè)點(diǎn)，…，如此反復(fù)畫下去，誰無法畫時(shí)誰失敗.問：先畫者還是后畫者有必勝策略？他的必勝策略是什么？（注：已畫過點(diǎn)的格子不準(zhǔn)再畫.）
分析 m，n是自然數(shù)，不定，不妨選幾個(gè)小棋盤來試試，以便從中找出規(guī)律.
1×1棋盤，先畫者勝.
1×2棋盤，后畫者勝.
2×2棋盤，后畫者勝.
2×3棋盤，后畫者勝.后畫者的策略如下：2×3棋盤，總可以事先分割成3個(gè)1×2的小棋盤.后畫者采用“跟蹤”的方法：先畫者在某個(gè)1×2的小盤中某個(gè)格內(nèi)畫了點(diǎn)，后畫者就在同一個(gè)1×2小盤中的另一格畫點(diǎn)；先畫者只得去尋找另外的1×2的小盤，后畫者“跟蹤”過去；直至先畫者找不到新的1×2小盤，這時(shí)，先畫者就失敗.
由2×3棋盤的分析過程知：m，n中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，m×n棋盤總可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盤，利用上面所說的“跟蹤”法，后畫者有必勝策略.
若m，n都是奇數(shù)，先畫者事先把m×n棋盤劃分成一些1×2小棋盤后，還剩一個(gè)小格.這時(shí)，先畫者可以先在這個(gè)剩下的小格中畫點(diǎn)，之后，先畫者用“跟蹤”法，就歸結(jié)為m、n至少有一個(gè)為偶數(shù)的情形，先畫者有必勝策略.
綜上所述，當(dāng)m、n中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，后畫者有必勝策略；當(dāng)m、n都為奇數(shù)時(shí)，先畫者有必勝策略.
解： （略）.
例6 現(xiàn)有9根火柴，甲、乙兩人輪流從中取1根、2根或3根，直到取完為止.最后數(shù)一數(shù)各人所得火柴總數(shù)，得數(shù)為偶數(shù)者勝.問先拿的人是否能取勝？應(yīng)怎樣安排策略？
分析 我們從最簡單的情況開始進(jìn)行考慮.
由于9是奇數(shù)，它分成兩個(gè)自然數(shù)的和時(shí)，必然一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，所以兩人中必然一勝一負(fù).由于偶數(shù)分成兩個(gè)自然數(shù)的和時(shí)，必然同奇或同偶，故無論如何取，都只能平局.因此我們只對火柴總數(shù)為奇數(shù)的情況加以討論.
1.如果有1根火柴，那么先取的人必?cái)。笕〉娜吮貏?
2.如果有3根火柴，先取的人可以取2根，后取的人只能取1根，那么先取的人必勝，后取的人必?cái)?
3.如果有5根火柴，不妨設(shè)為甲先拿.
甲先拿1根：
①乙拿1根，還剩3根，甲取3根.甲的火柴總數(shù)為：1＋3＝4（根），乙的火柴總數(shù)為1根，因此甲勝.
②乙拿2根，還剩2根，甲取1根，乙取1根.甲的火柴總數(shù)為：1＋1＝2（根），乙的火柴總數(shù)為：2＋1＝3（根），因此甲取勝.
③乙拿3根，還剩1根，甲取1根.甲的火柴總數(shù)為：1＋1＝2（根），乙的火柴總數(shù)為3根，因此甲勝.
因此，如果有5根火柴，先拿的人有必勝的策略.
4.下面討論7根火柴的情形.
甲先取了3根：
還剩4根，同前面3①～③分析可知甲必勝。
因此，有7根火柴時(shí)，先取的人有必勝的策略.
5.最后討論9根火柴的情形.
①甲先取1根，乙取3根，還剩5根.
（a）甲取1根，還剩4根，乙取3根，甲取1根，乙勝.
（b）甲取2根，還剩3根，乙取3根，乙勝.
（c）甲取3根，還剩2根，乙取1根，甲取1根，乙勝.
因此，在甲先取1根的情況下，（乙接著取3根）乙有必勝的策略.
②甲取2根時(shí)，還剩7根，這時(shí)乙面臨7根的情形，乙取3根，不論以后甲怎樣取，乙都有必勝的策略.
③甲取3根時(shí)，還剩6根；乙取1根，還剩5根.
（a）甲取1根，還剩4根，乙取3根，甲取1根，乙勝.
（b）甲取2根，還剩3根，乙取3根，乙勝.
（c）甲取3根，還剩2根，乙取1根，甲取1根，乙勝.
因此在甲先取3根的情況下，乙只要取1根，不論以后甲怎樣取，乙都有必勝的策略.
綜上所述，先取的人沒有必勝的策略，后取的人有必勝的策略.
解： （略）.
