西姆松定理說明

　　有三角形ABC，平面上有一點(diǎn)P。P在三角形三邊上的投影(即由P到邊上的垂足)共線(此線稱為西姆松線, Simson line)當(dāng)且僅當(dāng)P在三角形的外接圓上。

　　相關(guān)的結(jié)果有：

　　稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

　　兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。

　　若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。

　　從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

　　證明

　　證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF.

　　易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，(∵都是∠ABP的補(bǔ)角)且∠PDE=∠PCE

　　② 而∠ACP+∠PCE=180°

　　③ ∴∠FDP+∠PDE=180°

　　④ 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.

　　證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

　　M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有

　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.

　　故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。

　　若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有

　　∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.

　　故L、M、N三點(diǎn)共線。