討論文化問題，可以列舉文化的各個(gè)部門：科學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、政治、宗教、倫理……請(qǐng)注意，數(shù)學(xué)也是文化的一部分。教學(xué)和任何學(xué)科不同，它幾乎是任何科學(xué)所不可缺少的。沒有任何一門科學(xué)能像像它那樣澤被天下。它是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的語言和工具，這一點(diǎn)大概沒有什么人會(huì)懷疑了。它的思想是許多物理學(xué)說的核心，并為它們的出現(xiàn)開辟了道路，了解這一點(diǎn)的人就比較少了。它曾經(jīng)是科學(xué)革命的旗幟，現(xiàn)代科學(xué)之所以成為現(xiàn)代科學(xué)，第一個(gè)決定性的步驟是使自己數(shù)學(xué)化。為什么會(huì)這樣？因?yàn)閿?shù)學(xué)在人類理性思維活動(dòng)中有一些特點(diǎn)。這些特點(diǎn)的形成離不開各個(gè)時(shí)代的總的文化背景，同時(shí)又是數(shù)學(xué)影響人類文化最突出之點(diǎn)。我這里并不想概括出什么是數(shù)學(xué)文化，而只是就它對(duì)人類精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠(chéng)然，其他的學(xué)科也可能有這些特點(diǎn)，但大抵是與受數(shù)學(xué)的影響分不開的。
　　首先，它追求一種完全確定、完全可靠的知識(shí)。在這本小書里可以看到許多被吸引到數(shù)學(xué)中來的人正是因?yàn)閿?shù)學(xué)有這樣的特點(diǎn)。例如說，歐幾里得平面上的三角形內(nèi)角和為180°，這絕不是說“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內(nèi)角和“在某種誤差范圍內(nèi)”為180°，而是在命題的規(guī)定范圍內(nèi)，一切三角形的內(nèi)角和不多不少為180°。產(chǎn)生這個(gè)特點(diǎn)的原因可以由其對(duì)象和方法兩個(gè)方面來說明。從希臘的文化背景中形成了數(shù)學(xué)的對(duì)象并不只是具體問題，數(shù)學(xué)所探討的不是轉(zhuǎn)瞬即逝的知識(shí)，而是某種永恒不變的東西。所以，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須有明確無誤的概念，而且其方法必須由明確無誤的命題開始，并服從明確無誤的推理規(guī)則，借以達(dá)到正確的結(jié)論。通過純粹的思維竟能在認(rèn)識(shí)宇宙上達(dá)到如此確定無疑的地步，當(dāng)然會(huì)給一切需要思維的人以極大的啟發(fā)。人們自然會(huì)要求在一切領(lǐng)域中都這樣去做。正是因?yàn)檫@樣，而且也僅僅因?yàn)檫@樣，數(shù)學(xué)方法既成為人類認(rèn)識(shí)方法的一個(gè)典范，也成為人在認(rèn)識(shí)宇宙和人類自己時(shí)必須持有的客觀態(tài)度的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。就數(shù)學(xué)本身而言，達(dá)到數(shù)學(xué)趔的途徑既有邏輯的方面也有直覺的方面，但就其與其他科學(xué)比較而言，就其影響人類文化的其他部門而言，它的邏輯方法是最突出的。這個(gè)方法發(fā)展成為人們常說的公理方法。迄今為止，人類知識(shí)還沒有哪一個(gè)部門應(yīng)用公理方法得到如數(shù)學(xué)那樣大的成功。但是，如果到今天某個(gè)知識(shí)部門還是只有診斷而沒有論據(jù)，只是一堆相互沒有邏輯聯(lián)系的命題，前后又無一貫性，恐怕是不會(huì)有人接受的了。每個(gè)論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)之外，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令、流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的。這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎??宇宙和人類的真正面目是什么？??是人類文化發(fā)展到高度的標(biāo)志。這個(gè)偉大的理性探索是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的文化背景，反過來也是數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)于文化最突出的功績(jī)之一。
　　數(shù)學(xué)作為人類文化組成部分的另一個(gè)特點(diǎn)是它不斷追求最簡(jiǎn)單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下朝廷的。這是一種化繁為簡(jiǎn)以求統(tǒng)一的過程。從古希臘起，人們就有一個(gè)信念：冥冥之中最深處宇宙有一個(gè)偉大的、統(tǒng)一的、而且簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)圖，這是一個(gè)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)圖。在一切比較深入的科學(xué)研究后面，必定有一種信念驅(qū)使我們。這個(gè)信念就是：世界是合理的，簡(jiǎn)單的，因而是可以理解的。對(duì)于數(shù)學(xué)研究則還要加上一點(diǎn)：這個(gè)世界的合理性，首先在于它可以用數(shù)學(xué)來描述。在古代，這個(gè)信念有些神秘色彩。可是發(fā)展到現(xiàn)代，科學(xué)經(jīng)過了多次偉大的綜合。多少隨意地列舉一些：歐幾里得的綜合；牛頓的綜合；麥克斯韋的綜合；愛因斯坦的綜合；量子物理的綜合；計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，哪一次不是或多或少遵循這個(gè)信念？也許有例外：達(dá)爾文和孟德爾，但是今天已經(jīng)開始，人們?cè)谟脭?shù)學(xué)去討論物種的進(jìn)化與競(jìng)爭(zhēng)，討論遺傳的規(guī)律。人們會(huì)又一次看見宇宙的根本規(guī)律表現(xiàn)為一種抽象的、至少是數(shù)學(xué)味很重的設(shè)計(jì)圖。這不是幻想而是現(xiàn)實(shí)。為什么DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)是在卡文迪許實(shí)驗(yàn)室完成，受了研究分子結(jié)構(gòu)的X射線衍射方法那么多好處？難道看不出這也是一種把生命歸結(jié)為最簡(jiǎn)單成分的不同位置、不同形式、不同數(shù)量而成的數(shù)學(xué)味很重的結(jié)構(gòu)嗎？這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵(lì)人們按照最深刻的內(nèi)在規(guī)律來考慮事物。我們?yōu)槭澜鐖D景的精巧和合理而欣喜而驚異。這種感情正是人類文化精神的結(jié)晶。數(shù)學(xué)正是在這樣的文化氣氛中成長(zhǎng)的，而反過來推動(dòng)這種文化氣氛的發(fā)展。現(xiàn)在應(yīng)該提出的問題是，對(duì)這樣一種信念應(yīng)該怎樣去估價(jià)。是否還應(yīng)該同時(shí)也看到它的不足的一面？從科學(xué)史看來，一直存在一種“還原”的傾向：把復(fù)雜的現(xiàn)象歸結(jié)為一些最簡(jiǎn)單的最原始的因素的作用。物體分成了“質(zhì)點(diǎn)”、“電荷”；分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細(xì)胞，然后又是細(xì)胞核、細(xì)胞質(zhì)、染色體、基因、核酸……豐富無比、千差萬別的世界的多樣性似乎越來越被歸納為這些基本的成分或稱為宇宙的磚石在數(shù)量上、形狀上、結(jié)構(gòu)上的差別，這當(dāng)然是數(shù)學(xué)發(fā)揮作用的大好場(chǎng)所。同時(shí)也就產(chǎn)生了一種越來越深刻的疑問：大千世界真是這些最簡(jiǎn)單的成分疊加的嗎？難道線性的疊加原理竟是宇宙的最根本法則嗎？由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀(jì)念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區(qū)別究竟何在？可是，每一個(gè)從事數(shù)學(xué)研究的人仍然抱有下面說的信念：想解決這個(gè)更深刻的問題我把它稱為綜合，而把那種還原的傾向稱為分析仍然要靠數(shù)學(xué)，當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展將越來越證實(shí)這一點(diǎn)。
　　數(shù)學(xué)的再一個(gè)特點(diǎn)是它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。在發(fā)揮自己力量的同時(shí)又研究自己的局限性，從不擔(dān)心否定自己，而是不斷反思、不斷批判自己，并且以此開辟自己前進(jìn)的道路。它不斷致力于分析自己的概念，分析自己的邏輯結(jié)構(gòu)。它不斷地反思：自己的概念、自己的方法能走多遠(yuǎn)？從希臘時(shí)代起，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為宇宙即數(shù)(他是指自然數(shù))，可是遇到了無理數(shù)，后來的希臘人只好采用不可公度理論，因?yàn)榕�不清，就干脆不講無理數(shù)，而討論一般的線段長(zhǎng)。希臘人甚至不講數(shù)，使希臘數(shù)學(xué)與其他民族――例如中國(guó)――相比呈現(xiàn)了缺點(diǎn)。但即令如此，也要保持高度嚴(yán)整，而不允許采取折衷主義的態(tài)度。歷史終于證明，正是希臘人開辟了研究無理數(shù)系的道路。他們研究數(shù)學(xué)，卻同時(shí)考慮數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是否存在。希臘人考慮數(shù)學(xué)對(duì)象的存在問題，把存在歸結(jié)為可構(gòu)造，然后就問：“用直尺與圓規(guī)經(jīng)有限步驟去三等分任意角可能嗎？”因?yàn)榕�不清是否可能，即沒有構(gòu)造的方法以證明三等分角的存在，他們的幾何學(xué)中干脆不講一個(gè)角的三分之一，只講平分線，從不講角三分線。越向后面發(fā)展，數(shù)學(xué)就出現(xiàn)了越來越多的“不可能性”：x2+1=0不可能在實(shí)數(shù)域中求解，五次以上的方程不能用根式求解，平行線公理能不能證明？到20世紀(jì)初才知道是既不能證明又不能否證。大家都說，數(shù)學(xué)最需要嚴(yán)格性，數(shù)學(xué)家就要問什么叫嚴(yán)格性？大家都說，數(shù)學(xué)在證明一串串的定理，數(shù)學(xué)家就要問什么叫證明？數(shù)學(xué)越發(fā)展，取得的成就越大，數(shù)學(xué)家就越要問自己的基礎(chǔ)是不是鞏固。越是在表面上看來沒有問題的地方，越要找出問題來。乘法明明是可以交換的，偏偏要研究不可交換的乘法。孟子自嘲地說：“予豈好辯哉，予不得已也!”數(shù)學(xué)家只需要換一個(gè)字：“予豈好‘變’哉，予不得已也!”當(dāng)然，任何科學(xué)要發(fā)展就要變。但是只是在與實(shí)際存在的事物、現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果發(fā)生矛盾時(shí)才變。惟有數(shù)學(xué)，時(shí)常是在理性思維感到有了問題時(shí)就要變。而且，其他科學(xué)中“變”的傾向時(shí)常是由數(shù)學(xué)中的“變”直接或間接引起的。當(dāng)然，數(shù)學(xué)中許多重要的變是由于直覺地感到有變的必要，感到只有變才能直視宇宙的真面目。但無論如何，是先從思維的王國(guó)里開始變，即否定自己。這種變的結(jié)果時(shí)常是“從一無所有之中創(chuàng)造了新的宇宙”。
　　到了最后，數(shù)學(xué)開始懷疑起自己的整體，考慮自己的力量界限何在。大概是到了19世紀(jì)末年，數(shù)學(xué)向自己提出的問題是：“我真是一個(gè)沒有矛盾的體系嗎？我真正提供了完全可靠、確定無疑的知識(shí)嗎？我自認(rèn)為是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么？我證明了某些對(duì)象的存在，或者說我無矛盾地創(chuàng)造了自己的研究對(duì)象，可是它們確實(shí)存在嗎？如果我不能真正地把這些東西構(gòu)造出來，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一張空頭支票，一張沒有銀行的支票呢？”
　　總之，數(shù)學(xué)是一株參天大樹，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽光。它不斷擴(kuò)展自己的領(lǐng)地，在它的樹干上有越來越多的鳥巢，它為越來越多的學(xué)科提供支持，也從越來越多的學(xué)科中吸取營(yíng)養(yǎng)。它又把自己的根伸向越來越深的理性思維的土地中，使它越來越牢固地站立。從這個(gè)意義上來講，數(shù)學(xué)是人類理性發(fā)展最高的成就(或者再加上“之一”二字更好一些)。
　　數(shù)學(xué)深刻地影響人類精神生活，可以概括為一句話，就是它大大地促進(jìn)了人的思想解放，提高與豐富了人類的整個(gè)精神水平。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)使人成為更完全、更豐富、更有力量的人。愛因斯坦說的“得到解放”，其實(shí)正是這個(gè)意思。
　　數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達(dá)了一種探索精神。數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，確實(shí)是為了滿足人類的物質(zhì)生活需要。可是，離開了這種探索精神，數(shù)學(xué)是無法滿足人的物質(zhì)需要的。“風(fēng)調(diào)雨順”是人類的物質(zhì)生活不可少的。可是“巫師”的“祈雨”不也是滿足需要的“手段”之一嗎？人總有一個(gè)信念：宇宙是有秩序的，數(shù)學(xué)家更進(jìn)一步相信，這個(gè)秩序是可以用數(shù)學(xué)表達(dá)的，因此人應(yīng)該去探索這種深層的內(nèi)在的秩序，以此來滿足人的物質(zhì)需要。因此，數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其永恒的主題是“認(rèn)識(shí)宇宙，也認(rèn)識(shí)人類自己”。在這個(gè)探索過程中，數(shù)學(xué)把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致。它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標(biāo)準(zhǔn)，給人類的思想解放打開了道路。現(xiàn)在人人都知道實(shí)驗(yàn)方法的重要性，但是任何科學(xué)實(shí)驗(yàn)，離開了一定的邏輯思維，將是沒有意義的。在伽利略的時(shí)代就是這樣，他的許多實(shí)驗(yàn)都是所謂理想實(shí)驗(yàn)，在近代就更是這樣。在不同的時(shí)代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，數(shù)學(xué)在文化中的這一地位是不可移易的，而只有日益加強(qiáng)。有人認(rèn)為數(shù)學(xué)是現(xiàn)代文化的核心或基石，始終處于中心地位，而影響到人類知識(shí)的一切部門。似乎沒有必要去爭(zhēng)這個(gè)“中心”或“核心”的地位，但是歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的。

　練　習(xí)
一　作者在本文中論述了數(shù)學(xué)文化的幾個(gè)特點(diǎn)？是分別從什么角度論述的？
二、找出課文中關(guān)于下列論題的論述，并說說作者是怎樣給數(shù)學(xué)這一學(xué)科定位的。
　1．?dāng)?shù)學(xué)與社會(huì)文化的關(guān)系。
　2．?dāng)?shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系。
　3．?dāng)?shù)學(xué)中邏輯思維（理性思維）和感性思維（直覺思維）的關(guān)系。
三　縱使上下文，說說下列語句的含義。
　1．除了邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)以外，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令、流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有。
　2．難道看不出這也是一種把生命歸結(jié)為最簡(jiǎn)單萬分的不同位置、不同形式、不同數(shù)量而成的數(shù)學(xué)味很重的結(jié)構(gòu)嗎？
　3．由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀(jì)念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區(qū)別究竟何在？
　4．離開了這種探索精神，數(shù)學(xué)是無法滿足人的物質(zhì)需要的。“風(fēng)調(diào)雨順”是人類的物質(zhì)生活不可少的。可是“巫師”的“祈雨”不也是滿足需要的“手段”之一嗎？
四　據(jù)史書記載，托勒密國(guó)王曾經(jīng)問歐幾里得除了他的《幾何原本》外，還有沒有學(xué)幾何的捷徑。歐幾里得回答說：“在幾何里，沒有專為國(guó)王鋪設(shè)的大道。”還有一次，一個(gè)學(xué)生才做了一道題，就問歐幾里得學(xué)了幾何能得到什么。歐幾里得讓人給這名學(xué)生三個(gè)錢幣，因?yàn)樗�想在學(xué)幾何中獲取實(shí)利。請(qǐng)?jiān)僬規(guī)讋t數(shù)學(xué)史上類似的小故事，結(jié)合自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會(huì)，談?wù)勀銓?duì)這一學(xué)科的認(rèn)識(shí)