許多同學都喜歡下棋，可是，同學們知道棋盤上還有許多有趣的數學問題嗎？
圖1是半張中國象棋的棋盤，請同學們思考幾個問題：
問題1 一只馬能否跳遍這半張棋盤，每一點都不重復，最后一步跳回起點？
問題2 一只馬能否從位置B出發，用6步跳到位置A？為什么？
問題3 一只馬處于C點處，要跳到適當的位置“將軍”（敵方老將在D處），不管按什么路線跳，都要跳奇數步，為什么？
要回答這幾個問題，需要應用一種饒有趣味的方法――染色法。
將半張棋盤中的45個格點進行黑白相間染色（如圖2）。由于棋盤中共有45個格點，黑點數與白點數不可能相等。而馬走“日”，跳一步只能從黑點跳到白點，或從白點跳到黑點。如果馬從某點出發跳遍半張棋盤，每一步都不重復，而且回到原出發點，則黑點數與白點數必然相等。但現在知道黑點、白點數目不相等，因此馬可能從某點出發，一步不重復地跳回原出發點。
由于B點是黑點，A點是白點，兩點不同色，馬只能從黑點跳到白點，或從白點跳到黑點，從B跳到A必須跳奇數步，6步辦不到。
第3個問題也很簡單，由于C點與D點同色，馬從C處跳能夠“將軍”的地點必與D點異色，也就是與C點異色，由問題2的解答知，不管怎樣跳，都要跳奇數步。
用染色法還可以解決棋盤的覆蓋問題。
問題4 能否用17個形如圖3的卡片將圖4覆蓋？
圖4共有34個小方格，17個1×2的卡片也有34個小方格，好象能覆蓋住。我們將圖4黑白相間染色，得到圖5。細心觀察會發現，圖5中黑格有16個，白格有18個，而1×2的卡片每次只能蓋住一個黑格與一個白格，所以17個1×2的卡片應當蓋住黑、白格各17個，不可能蓋住圖4。
問題5 圖6的七種圖形都是由4個相同的小方格組成的。現在要用這些圖形拼成一個4×7的長方形（可以重復使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？
先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個（7）；用2種圖形也沒問題，例如用1個（7），6個（1）。經試驗，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形（如圖7）。
能否將7種圖形都用上呢？7個圖形共有（4×7＝）28（個）小方格，從小方格的數量看，如果每種圖形用1個，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實上卻拼不成。為了說明這個事實，我們將4×7的長方形黑、白相間染色（如圖8），圖中黑白格各有14個。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個，共覆蓋黑、白格各12個，還剩下黑、白格各2個。第（2）種圖形只能覆蓋3個黑格、1個白格或3個白格、1個黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個黑格、2個白格。
綜上所述，要拼成4×7的長方形，最多能用上6種圖形。
