分割理論

　　拿蘭莎的三個問題來和朋友開個玩笑倒是挺有意思。前兩個問題的答案都不是規則的圖形。這些圖形的巧妙分割表明，一個正方形既然不能被分成五個小正方形，那它一定能被分成五個別的什么形狀。解答方法如此淺顯卻很少有人想到，這真是令人遺憾。而這種方法又是把正方形五等份的唯一方法。

　　如果你的朋友對這類問題有興趣，你可以接下來給他(或她)出第四個類似的問題。首先讓你的朋友看看圖2-17所示的圖形，怎樣能分成相同形狀的四小塊？能分成形狀相同的三小塊嗎？

　　圖2-17

　　你的朋友可能經過一番苦苦思索百思不解而放棄，這時你把答案給他(或她)看看，面對如此淺顯的解答，你的朋友一定會瞠目而汗顏。這個問題的解答方法同蘭莎分割正方形的思路如出一轍，答案如圖2-18所示。這個方法同樣可以把這個圖形分割成任意等份。

　　這類問題和前面切乳酪的問題一樣，都屬于娛樂數學(recreationaI mathematics)的一個重要的分支，有時稱作“分割理論”。它為我們解決平面幾何和立體幾何中的許多實際問題提供了有效的方法。蘭莎的頭兩個問題更有趣，因為分割后的小塊與分割前的大塊形狀相似。如果一個圖形能分成若干彼此全等而又與原圖形相似的小圖形，那么，這個圖形就叫做“可縮圖形”(rep―tile)。

　　圖2―19又列了幾個可縮圖形，你能把它們分別分成若干彼此全等又和原圖形狀相似的小圖形嗎？

　　圖2-19

　　“顯然，若干小的可縮圖形可以拼成同形狀的大的可縮圖形。假設某種可縮圖形能夠取之無盡用之不竭，可以推想，他們拼成的同形狀的大的可縮圖形會逐漸布滿無盡的平面。比如，蘭莎解決的第一個問題L形可縮圖形，四個同樣的小L形可以拼成一個大L形，然后四個同樣的大L形可以拼成一個更大的L形。這樣無止境地拼下去，結果當然會拼成一個無盡頭的平面。反之一個大L形分成四個小L形，一個小L形再分成四個更小的L形。這樣無止境地分下去，圖形會越來越小，直至無窮小。

　　關于可縮圖形我們研究得還很不夠。凡已知的可縮圖形都可以通過重復的拼接而充滿一個平面。也就是說，一個基本的可縮圖形通過水平延展而不是旋轉或折轉來拼成一個平面。有沒有可縮圖形不能重復地拼下去呢？這是拼接理論中一個尚未解決的比較艱深的問題。

　　關于空間的可縮圖形我們研究得就更有限了。立方體屬于這類空間的可縮圖形，因為八個立方體可以組合成一個大立方體，就像四個正方形拼成一個大正方形一樣。你能再想出別的立體的可縮圖形嗎？

　　如果我們不要求分割后的小圖形與原來的圖形形狀相似，那么我們還能從這類問題中琢磨出別的趣味。例如圖2―20所示，是一個由五個小正方形拼成的T字圖形，它不能被分割成四個小T字圖形但是你能把它分割成四個別的什么圖形嗎？

　　圖2-20

　　把一個平面圖形分割成盡可能少的全等圖形(如兩份)，這一目標更難達到。圖2―21給出了幾個例子，你有興趣試著分割一下嗎？答案見本書的附錄。

　　分割理論還有一個分支，是將已知的多邊形分割成盡可能少的幾部分，當然形狀不限，然后這些部分可以重新組合成另一個不同的給定的多邊形。例如，一個正方形最少能被分成多少份，使被分割的部分能重新組合成一個正三角形？(答案是4份)這部分內容在《幾何分割中的重組同題》(Recreational problems in Geomeerie Dissections)和《亨利?林格如何解決這些問題》(How to Solve Them by Harry Lindgren)兩書中有詳盡而精彩的論述。