“計算”一詞的應用面很廣，本章我們討論的范圍只限定在整數的加、減、乘、除法四則運算范疇內。

　　在人類早期(具體時間無法確定)的某一刻，原始人類不知由于什么原因慢慢發現了事物是可以計數的，并且計數的結果與計數的順序沒有關系。比如你在手指上計兩只羊，它與你從哪只羊開始計沒有關系，同樣與你從拇指或小指開始計也沒有關系，最后總是數到2為止。如果你數完兩只羊后再數一只，那一定數到3為止。

　　人類對形如2十1=3這樣的計算理論的認識一定慢慢經歷了很漫長的時期。如果我們能打開一幅過去歷史的發展畫卷，我們一定能發現沒有一個單一的年代能夠令我們說“這就是人類發明了計算的年代”。這就如同孩子們對數的計算的認識過程一樣，某一小孩可能在某一時刻第一次說出1+1=2，但他或她在第一次用詞語描繪它以前。對這一式子的認識過程可能已經經歷很長時間了。

　　雖然導之于數字系統公理及定義的推理應運而生，但這并不意味著我們僅憑聽一下就能斷定某一計算陳述的正確與否。比如某人聲稱12 345 679×9=111 111 111，他沒經過做乘法驗證以前，你不可能完全相信。有些計算方面的定理陳述看起來很簡單，但其內涵卻很深奧，以致于可能沒有人知道其正確與否，“哥德巴赫猜想”就是一個很著名的例子。任何一個大于2的偶數都可表示為兩個素數的和嗎？迄今還沒有人能證明它是正確的，但也沒有人能舉出反例。

　　在這一部分，我們考慮關于計數方面比較簡單的一類問題。假如我們處理得適當，所有問題都有很簡單的解法。我們精選的問題雖然很基本，但卻介紹了一些重要的概念及技巧，以引導我們在“數論”即過去被稱作“高等計算”方面達到一定水平。例如書中“唱片要割裂嗎”部分介紹“丟番圖”分析時。以之作為方程積分解法的發現，“多余的一個”包含了最基本的最小公倍數的概念，并依照“中華余數定理”可得到意想不到的簡單解法。

　　在計算機研究及分類理論中占重要地位的二進制分類方式。構成了猜測海倫的“未入冊的電話號碼”這一趣事的基礎，并且介紹了記憶的二進制系統。在數論的很多高深證法中顯得最基本的“鴿洞原理”。用來證明了兩個有趣結果。其一是關于鈔票問題的，其二是關于頭上生長的頭發問題的。兩個整數互素(沒有公約數)這一論據對表的時針、分針、秒針只能在12點完全重合――一個通常用乏味的代數方法才能證明的

　　定理提供了一個出人意料的簡捷方法。

　　關于瓶子計數方面的一個難題通過使用模算術得到了很簡單的結束，并由此引出了約瑟夫斯問題――一個類似于玩牌游戲中“通吃”這一方式的典型的數字難題。

　　盡管這一部分的問題對于數學家來說很平常，但它畢竟在重要的“數論”領域方面開辟了一條探索途徑。