（注：文中將阿拉夫零記為alf(0)，阿拉夫一記為alf(1)，依次類推…）

　　由于alf(0)是無窮基數，阿拉夫是有異于有限運算的神奇運算，因而，以下的結果也不足為怪：

　　alf(0)+1=alf(0)

　　alf(0)+n=alf(0)

　　alf(0)+alf(0)=alf(0)

　　alf(0)Xn=alf(0)

　　alf(0)Xalf(0)=alf(0)

　　alf(0)是自然數集的基數。一個無窮基數，只要是可數集，其基數必為alf(0)。由可排序性，可知如整數集、有理數集的基數為alf(0)；或由它們的基數為alf(0)，得它們為可數集。而實數集不可數（可由康托粉塵線反證不可數）推之存在比alf(0)更大的基數。乘法運算無法突破alf(0),但冪集可突破：２alf(0)=alf(1)

　　可以證明實數集的基數card(Ｒ)=alf(1)。進而，阿拉夫"家族"一發而不可收：２alf(1)=alf(2);２alf(2)=alf(3);……

　　alf(2)究竟有何意義？人們冥思苦想，得出：空間所有曲線的數目。但而后的alf(3)，人類絞盡腦汁，至今為能道出眉目來。此外，還有一個令人困惑的連續統之迷："alf(0)與alf(1)之間是否還存在另一個基數？"

　　公元１８７８年，康托提出了這樣的猜想：在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數。但當時康托本人對此無法予以證實。

　　公元１９００年，在巴黎召開的第二次國際數學家會議上，德國哥庭根大學教授希爾伯特提出了舉世聞名的２３個二十世紀須攻克的數學問題中，連續統假設顯赫的排在第一個。然而這個問題的最終結果卻是完全出人意料的。

　　公元１９３８年，奧地利數學家哥德爾證明了"連續統假設決不會引出矛盾"，意味著人類根本不可能找出連續統假設有什么錯誤。１９６３年，美國數學家柯亨居然證明了："連續統假設是獨立的"，也就是說連續統假設根本不可能被證明。