數(shù)學(xué)的確提出了大量問(wèn)題。事實(shí)上，數(shù)學(xué)和問(wèn)題是分不開(kāi)的。歷史證明，數(shù)學(xué)概念成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的催化劑，數(shù)學(xué)問(wèn)題又激發(fā)了許多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。古代三大不可能作圖題①、柯尼斯堡橋問(wèn)題②和平行公設(shè)問(wèn)題③是歷史上已經(jīng)得到解決并在解決過(guò)程中激發(fā)數(shù)學(xué)思維、概念和發(fā)現(xiàn)的典型問(wèn)題。提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，細(xì)閱答案證明，是推動(dòng)數(shù)學(xué)家前進(jìn)的動(dòng)力。

　　下面是幾個(gè)著名的“未解決”數(shù)學(xué)問(wèn)題：

　　未解決的素?cái)?shù)問(wèn)題

　　·有沒(méi)有一個(gè)公式或一種試驗(yàn)方法可用來(lái)確定一個(gè)給定數(shù)是否素?cái)?shù)？

　　·是否有無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)？一對(duì)孿生素?cái)?shù)是一對(duì)相鄰素?cái)?shù)，它們的差是2。例如3和5，因?yàn)?－3＝2。還有如5和7，11和13，41和43。

　　·奇完滿(mǎn)數(shù)之謎。如果一個(gè)數(shù)等于它的全部真因數(shù)的和，則這數(shù)稱(chēng)為完滿(mǎn)數(shù)（真因數(shù)即除本身以外的因數(shù)）。6是偶完滿(mǎn)數(shù)的例子，因?yàn)?＝1＋2＋3。其他例子有28、496和8128。約公元前300年，歐幾里得證明，如果2n－1是素?cái)?shù)，則2n－1（2n－1）是完滿(mǎn)數(shù)。然后在18世紀(jì)，倫哈德·歐拉證明任何偶完滿(mǎn)數(shù)必然符合歐幾里得的式子。例如8128＝26（27－1）。

　　但是奇完滿(mǎn)數(shù)仍是一個(gè)謎。至今為止，沒(méi)有人發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)奇完滿(mǎn)數(shù)，也沒(méi)有人證明所有完滿(mǎn)數(shù)都是偶數(shù)。

　　哥德巴赫猜想

　　每一個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和嗎？

　　1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克里斯琴·哥德巴赫（1690～1764）給倫哈德·歐拉（1707～1783）寫(xiě)了這樣一個(gè)猜想：除2以外的每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。例：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝7＋5.雖然哥德巴赫的這一猜想被相信是對(duì)的，但是還沒(méi)有人作出過(guò)證明。至今為止，已獲得了下述成果：1931年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家施尼雷爾曼思路清晰地證明了任何偶數(shù)可被寫(xiě)成不多于300000）個(gè)素?cái)?shù)的和——這與兩個(gè)素?cái)?shù)離得太遠(yuǎn)了；伊凡M．維諾格拉多夫（1891～1983）證明所有足夠大的奇整數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和；1973年，陳景潤(rùn)證明每一足夠大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)或是素?cái)?shù)或是僅有兩個(gè)素因數(shù)的數(shù)之和。

　　費(fèi)馬大定理

　　在17世紀(jì)，皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601～1665）在他的一本書(shū)的邊上寫(xiě)道——

　　把一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)，把一個(gè)四次方數(shù)或一般地任何超過(guò)二的高次方數(shù)分成兩個(gè)同次方數(shù)，都是不可能的，對(duì)此我肯定已經(jīng)獲得一個(gè)絕妙的證明，但是邊上地位太窄，寫(xiě)不下。

　　這定理可重述為：如果n是大于2的自然數(shù)的話，不存在任何正整數(shù)x、y、z能使xn＋yn＝zn.費(fèi)馬的注成了一個(gè)挑戰(zhàn)。幾世紀(jì)以來(lái)，甚至最卓越的數(shù)學(xué)家都沒(méi)能作出證明或反證。

　　下一節(jié)將提供另外的背景，并討論有關(guān)費(fèi)馬大定理的最新消息。由于力圖證明費(fèi)馬大定理而得到的某些發(fā)現(xiàn)也許比這定理本身更重要。

　　研究尚未解決的數(shù)學(xué)思想，與探討已知的東西同樣有趣。這里不過(guò)是數(shù)學(xué)的未解之謎中的一點(diǎn)小小的樣品。雖然有些問(wèn)題很簡(jiǎn)單，可以講給沒(méi)有數(shù)學(xué)背景的人聽(tīng)，但它們的解卻是難以捉摸的。

　　①只許用直尺和圓規(guī)求解的古代三大不可能作圖解是：三等分一個(gè)角（把一個(gè)角分成相等的三個(gè)角）、倍立方（作一立方體，使它的體積是一給定立方體的兩倍）、化圓為方（作一正方形，使它的面積與一給定圓相等）。由這三個(gè)問(wèn)題刺激發(fā)展起來(lái)的幾個(gè)發(fā)現(xiàn)是尼科米茲的蚌線、阿基米德的螺線和希庇亞斯的割圓曲線。

　　②柯尼斯堡橋問(wèn)題的要求是找出一條通過(guò)柯尼斯堡七座橋的路線，其中任何一座橋都只許經(jīng)過(guò)一次。歐拉在解這問(wèn)題時(shí)發(fā)展了網(wǎng)絡(luò)的概念。

　　③平行公設(shè)涉及的是確定歐拉的第五公設(shè)究竟是不是公設(shè)而非定理。試圖證明這一公設(shè)的各種努力，導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。