電視里的大眾娛樂節(jié)目，例如家庭卡拉OK歌唱大獎(jiǎng)賽、快樂大轉(zhuǎn)盤等，常有觀眾全家參加的，一家一家的出場(chǎng)比賽，一家一家的登臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，場(chǎng)上的人家玩得高興，場(chǎng)下的人家看得開心。
在下面的分?jǐn)?shù)求和問題里，進(jìn)入和式的分?jǐn)?shù)也是一家一家的登場(chǎng)： 式子長(zhǎng)了些，先看看有沒有規(guī)律可循。
這里面的分?jǐn)?shù)，分母相同的連在一起，一組一組的。它們都是全家齊上場(chǎng)：以2為分母的真分?jǐn)?shù)，只有一個(gè)，自成一家；以3為分母、4為分母和5為分母的真分?jǐn)?shù)，分別組成兩口之家、三口之家和四口之家。
有數(shù)了，不忙，一家一家的來(lái)。先分別求出每一家的和，再求各家的總和。
以2為分母的分?jǐn)?shù)只有1個(gè)，和是
以3為分母的有2個(gè)，和是
以4為分母的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，和是
以5為分母的分?jǐn)?shù)有4個(gè)，和是
這樣就得到，所有分?jǐn)?shù)的總和是 
上面這道求和問題，參加的分?jǐn)?shù)家庭只有4個(gè)，規(guī)模不大，不過(guò)已經(jīng)看出一個(gè)簡(jiǎn)便方法：在每個(gè)分?jǐn)?shù)家庭里，把最大的與最小的搭配成一對(duì)，其和為1，放到一旁；再把剩下來(lái)最大的和最小的搭配成一對(duì)，其和為1，再放到一旁；如此繼續(xù)。直到最后，如果這一家的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)逢雙，那么恰好全部搭配成對(duì)；如果這一家的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)逢單，那么剩下正
這樣也就發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：每一個(gè)分?jǐn)?shù)家庭里，全部真分?jǐn)?shù)的和，恰好等于它們個(gè)數(shù)的一半。
由此推出，在這類全家出動(dòng)的真分?jǐn)?shù)求和問題中，只要數(shù)一數(shù)有多少個(gè)分?jǐn)?shù)參加，拿它們的總個(gè)數(shù)除以2，就得到所求的和。
通過(guò)試點(diǎn)摸索到規(guī)律，就可以推廣了。這次多邀請(qǐng)些分?jǐn)?shù)家庭參加，把分母的范圍擴(kuò)大為從2到50，求下面的和：
根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，我們先來(lái)數(shù)一數(shù)，這里總共多少個(gè)分?jǐn)?shù)。
應(yīng)邀參與求和的分?jǐn)?shù)家庭，分母從2到50，共計(jì)49家，每家出場(chǎng)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)從1到49，總數(shù)是
1+2＋3＋…＋47十48＋49
=［(1＋2＋…＋48＋49)＋(49＋48＋…＋2＋1)］÷2
=［(1＋49)+(2＋48)+…＋(48＋2)＋(49＋1)］÷2
= 49×50÷2
= 1225。
再拿總個(gè)數(shù)除以2，就得到
