101．空間填充
無(wú)法用較小的四面體堆出大四面體．假設(shè)從大四面體的的每一個(gè)頂點(diǎn)移去一個(gè)四面體，則留在中心的是一個(gè)有正方形橫切面的八面體，而這是無(wú)法由較小的四面體組成的． 
102．長(zhǎng)方形的對(duì)角線
設(shè)h為l與b的最大公因數(shù)，則關(guān)系式為：
d= l +b-h
例如，當(dāng)l =15，b=10，h=5時(shí)，與對(duì)角線相交的方格數(shù)目為：
15+10-5=20
103．分割平面的直線
列表之后就能很明顯地看出r的數(shù)目之間的差為1、2、3、4、5，以此類推．不難推導(dǎo)出當(dāng)n=10時(shí)，r=56．n=100時(shí)，r的值也能用類似的方法導(dǎo)出，但如果用公式計(jì)算，得出5 051，自然是容易得多．
S=1+2+3+4+…+(n-1)+n
即 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1(將次序顛倒)
因此 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)
下一題將探討用差分推算數(shù)列的技巧，這種技巧在研究由P個(gè)平面分割空間，所分割成區(qū)域數(shù)目的極大值時(shí)也很有用．
分割平面在4個(gè)以上時(shí)，就很難用“看”的方法去了解實(shí)際狀況，這時(shí)差分技巧就派上用場(chǎng)了：
104．?dāng)?shù)字序列——差分
第十項(xiàng)為120．
原始數(shù)列的下兩項(xiàng)為62與87．
(5)67 (6)96 (7)238 (8)275
105．從點(diǎn)陣模式到數(shù)字模式
(1)4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 (2)1 5 13 25 41 61 85 113 145 第一個(gè)數(shù)列是第二個(gè)數(shù)列差分的集合．
數(shù)列(1)的第一百項(xiàng)為400．
數(shù)列(2)的第一百項(xiàng)等于
1+4+8+12+16+…+396
=1+4(1+2+3+4+…+99)
=1+2(1+2+3+…+97+98+99+99+98+97+…+3+2+1)
=1+2(100+100+100+…+100+100+100)
=1+(2×99×100)
=19801 第十個(gè)三角形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)很容易就可以由差分法找到． 
前10個(gè)奇數(shù)的和是102=100．
奇數(shù)1、3、5、…39的和為202=400，因?yàn)?/font>39是第二十個(gè)奇數(shù)．
在60與100之間的奇數(shù)和，就等于1至99的奇數(shù)和減去1至59的奇數(shù)和．99是第五十個(gè)奇數(shù)，59是第三十個(gè)奇數(shù)，故所求的和為502-302=1600．
106．釘板上的正方形
你可能認(rèn)為在8×8釘板上，所能作出的不同形狀正方形的數(shù)目為19，但其實(shí)你忽略了在作對(duì)角線正方形時(shí)，有一個(gè)是以3、4、5為3邊的直角三角形為基礎(chǔ)的正方形，而這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為5，所以與6×6釘板的邊界正方形重疊．
正方形數(shù)目N與釘板一邊的釘子數(shù)n的關(guān)系如下：
在8×8釘板上所作成的正方形面積為：
觀察其間的差，似乎看不出任何可以使數(shù)列繼續(xù)下去的明顯模式．
107．多邊形的三角分割
(1)有17條對(duì)角線．
(2)四邊形、五邊形分別有2條、5條對(duì)角線．
(n-3)條對(duì)角線，共有n個(gè)頂點(diǎn)，故得n(n-3)，但因?yàn)槊恳粭l對(duì)角線都重復(fù)計(jì)算了兩次，故此數(shù)目應(yīng)減半．
(3)2條，3條，4條．
一般而言，在n邊形中，可以畫出n-3條互不交的對(duì)角線．
圖1與圖2是兩種分割六邊形的不同方法．
圖3～圖5是分割七邊形的其他3種方法．
1+5+1+2+2+2+2=15 1+2+3+2+1+3+3=15 1+2+4+1+2+2+3=15
在各種情況中，七邊形被分割后都形成5個(gè)三角形，每一個(gè)三角形都包含3個(gè)頂點(diǎn)，所以在使用的數(shù)字記錄系統(tǒng)中，每一個(gè)三角形都被計(jì)算了3次．因此各種情況的數(shù)字和都為5×3=15．
顯然多邊形的邊愈多，也就有愈多種不同的分割方法．但作者至今尚未找到一種公式，可以預(yù)測(cè)對(duì)已知邊數(shù)的多邊形進(jìn)行分割時(shí)，不同分割方法的數(shù)目． 姑且不論有多少分割方法的問題，這個(gè)活動(dòng)的目的之一是要介紹可以形成帶狀模式的數(shù)列．對(duì)帶狀模式的研究最近才剛起步，而且人們對(duì)它所知不多．只要你熟悉生成新數(shù)列的方法，其算術(shù)是相當(dāng)簡(jiǎn)單的，但形成的模式卻非常奇妙．
108．一個(gè)人玩的跳棋游戲
跳棋游戲雖然歷史悠久，但一直未受重視，可能是因?yàn)榭雌饋?lái)似乎過于簡(jiǎn)單．
“跳蛙”最少需移動(dòng)15次．
將7個(gè)洞由左至右編號(hào)，則15次移動(dòng)的方法如下所示，其中的數(shù)字代表空的洞：
3 5 6 4 2 1 3 5 7 6 4 2 3 5 4
策略為盡量用跳的方式，在此解中共跳了9次．
將x個(gè)黑色棋子與y個(gè)紅色棋子互換位置，最少要移動(dòng)xy+x+y次，其中xy為“蛙跳”的次數(shù)．
109．一分為二
110．將立方體著色
最少需要3種顏色，因?yàn)橛?/font>3個(gè)面交于立方體的頂點(diǎn)，這3個(gè)面必須為不同顏色，所以即使相對(duì)的面顏色相同，也沒有相鄰的面為相同顏色．
如果有A、B、C、D4種顏色可用，每一次取3種顏色的組合有4種，即ABC、ABD、ACD與BCD，而且每一種組合中只有一種將立方體著色的方法．所有其他的方法都會(huì)用到所有的4種顏色．如果沒有立方體模型，要整理出這些著色方法并不容易．要注意的是，除了兩個(gè)相鄰面必須不同色之外，相同顏色的面也不能超過兩個(gè)．
因此要用4種顏色涂6個(gè)面，就必須有兩種顏色用兩次，另外兩種顏色各使用一次．如此就有6組解答，如圖所示．
在每一種情況中，只出現(xiàn)一次的兩種顏色，必定是在相對(duì)的面．這6組解答，加上前面只用3種顏色的4組解答，所以將立方體著色共有10種不同的方法．
