121．采礦之道

　　這個題目如果是由一群人一起做，看看誰能找到獲利最大的路徑，會更有趣．設計這個問題的靈感，來自于第418期《數學公報》(Mathematical Gazette)上的一篇文章，以及一家澳大利亞清潔劑制造商的促銷活動．在互相競爭的情形下，大多數的人都會很積極地尋找答案，但到目前為止，還沒有人能不使用電腦就找到最佳解．可能是因為這條獲利高達七億七千六百萬英磅的最佳路徑：

　　28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56

　　并沒有經過價值超過八千三百萬英磅利潤的那11塊區域中的任何一塊．使用這種數字陣列，很容易就可以設計出類似但不同的問題．例如，開采最少區域，同時獲利至少為八千萬英磅的最短路徑是怎樣的？

　　最后的答案都會是1089，除非第一次選擇的數字百位數與個位數相同，如525，則第一次相減就得到零．

　　由于1+6=2+5=3+4=7，同時每一個圓與另一個圓都有成對的交點，因此只要把和為7的數字填入成對的交點中，就可以形成魔術數字為14的魔術圓圈(圖1)．

　　只要先定出數字N，然后找出和等于N的3組數字(a，b)、(c，d)、(e，f)，就可以用這3組6個數字形成魔術圓圈．例如，N=15，則3組數字可以是

　　(5，10)(7，8)(2，13)如此就可以形成如圖2的魔術圓圈，其中2N=30為魔術數字．

　　任兩圓只交于兩點，所以只要將和為13的一組數字放在這兩個交點即可．用這種方法很容易就可以找到解答，其中一組解如圖3．

　　1+2+5+12+11+8=39

124．數字輪

　　從輪子最下方的那條線可知數字和為23．因此中心的數字是23-15-2=6，以此類推．

　　以下為4種解：

　　123-4-5-6-7+8-9=100

　　[1×(2+3)×4×5]+6-7-8+9=100

　　(1×2×3)-(4×5)+(6×7)+(8×9)=100

126．除法的形式

　　在過去沒有計算器的時代，做除法通常只會取4位有效數字，只有在除以3或11時，我們能從其較短的數字重復出現形式中體會到循環小數的概念．所以，很多人在發現事實上所有的除法只要能一直持續下去，都可能出現循環形式時，常感到難以置信．

　　(1)以7為除數時，最后會形成6個數字的循環序列．

　　要了解為何以64或320為除數時會形成有限位的小數，請參見下例：

　　如果分母中的數字不是由2的乘方與5的乘方所組成，就無法轉化成10的次方．

　　當以某數，如31為除數時，就有30種可能的余數，即1、2、…30，而且會重復出現，所以要研究商的循環數列，其實就是研究除數的序列．這個問題與“同余理論”有關．

　　(2)以17為除數的數字序列為：

　　(3)以19為除數的數字序列為：

　　(4)以11為除數時，會出現下列的兩位數字的序列：

09 18 27 36 45

　　(5)以13為除數時，會出現下列2種6位數字的序列：

　　29和31是23與37之間僅有的質數．

　　127是113之后的下一個質數．

　　在190與200之間共有4個質數，即191、193、197與199．

　　(1)28=5+23=11+17

　　(3)下列為前10個奇數：

　　3=2+2⁰

　　5=3+2¹

　　7=3+2²=5+2¹

　　9=5+2²=7+2¹

　　11=3+2³=7+2²

　　13=5+2³=11+2¹

　　15=7+2³=11+2²=13+2¹

　　17=13+2²

　　19=3+2⁴=11+2³=17+2¹

　　21=5+2⁴=13+2³=17+2²=19+2¹

　　再試試1271．

　　(4)179，181；191，193；197，199．

　　(5)②將數字排成如下6行：

　　第二、第四與第六行都是偶數，所以除了2之外都不是質數．第三行是3的倍數，所以除了3以外，也都不是質數．余下第一行與第五行，其中的數字都具有6n+1或6n-1形式．

　　③即5=2²+1²

　　13=3²+2²

　　17=4²+1²

　　在做這一個與下一個題目時，最好能將質數列表．下面就介紹由希臘數學家伊拉托塞尼斯(Erotosthenes)所提出的方法．把所有你想考慮進去的數，例如1至50，寫成陣列．

　　現在從2開始，兩個兩個一數，消去第二個數，這樣就只剩下奇數與2．再取2之后第一個未被消去的數，即3．

　　再三個三個一數，消去第三個數，如6、9、12等．然后由3移到下一個未被消去的數，即5，同樣五個五個一數，消去第五個數，以此類推．最后剩下的就是質數．

　　(1)121=11²是其反例．

　　(2)當n=40，41，44，49，56，65，76時，原式就無法產生質數．

　　當n=40，n²+n+41=40²+40+41

　　　　　　　　　　=40(40+1)+41

　　　　　　　　　　=41²

　　(3)當n=80，n²-79n+1601=80²-(79×80)+1601

　　　　　　　　　　　　　=80(80-79)+1601

　　　　　　　　　　　　　=41²

　　這兩個二次式非常相似．用n-40代替n，代入n²+n+41，即得n²-79n+1601．

　　(4)n=29，2×29²+29=29(58+1)=29×59．

　　(5)前5個費瑪數為3、5、17、257與65537．

　　最小的回文質數是11，最小的回文平方數是121．其他只有兩個回文平方數小于1000：

　　484=22²與676=26²

　　在100與200之間的回文質數有

　　101 131 151 181

　　對于任何回文數，在400與500之間的最后一位數都是4，所以一定是偶數；在500與600之間的最后一位數都是5，所以都含有5的因數；在600與700之間的最后一位數都是6，所以都是偶數．其實在383與727之間并沒有回文質數．在1000與2000之間所有回文數的公因數為11．

　　過剩數、完全數與虧損數

　　(1)過剩數：1 2 3 4 5 7 8 9 10 1113

　　14 15 16 17 19 21 22 23 25

　　虧損數：12 18 20 24

　　完全數：6 28

　　(2)當n=5，得2⁵-1=31，故16×31=496為完全數．

　　496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

　　當n=7，得2⁷-1=127，其為質數，故64×127=8128為完全數．

　　(1)x²-y²=(x+y)(x-y)

　　在此例中，x-y=1，故x²-y²=x+y．

　　(2)如果被平方的數字為n，則其他兩個相乘的數就是n-1與n+1．

　　由于(n-1)(n+1)=n²-1，故乘積恒比n²少1．

　　(3)3的乘方，最后一位數重復出現的順序為3，9，7，1．

　　2的乘方得出序列2，4，8，6．

　　4的乘方得出序列4與6．

　　5與6的乘方分別得出序列5與6．

　　7的乘方得出序列7，9，3，1．

　　8的乘方得出序列8，4，2，6．

　　9的乘方得出序列9與1．

　　請注意，由3與7以及2與8得出的序列之間關系密切．

　　數，且其和等于n³．

　　(5)前n個數的立方和，等于前n個數和的平方，例如：

　　1³+2³+3³+4³=(1+2+3+4)²