(4)某一行的圖案是否有可能重復出現？

　　如果以下列情形開始的話，會有什么結果？

　　(1)改變第一行的圖案。

　　(2)改變第一行的圓圈數目。

解答與分析

　　每個圓圈是黑或白是由其左上方與右上方的圓圈決定的。如果上面兩個圈同色，那么它就是白圈；如果不同色，它就是黑圈。

　　每一行的圓圈都應該看成是連續循環的，因此在最右邊的圓圈之后的應該是最左邊的圓圈。

　　因此在決定每行最后一個圓圈的顏色時，應該把它視為位于上一行第一個與最后一個圓圈的下面。在第一行之后，每一行黑圈的數目必定是偶數(白圈也一樣)。為什么？

　　一行全部為白圈的情形，只會在全白或全黑的一行之下出現。因此，它的出現完全取決于是否可能出現全黑圈行。全黑圈行又只會在黑白交錯的一行下出現，但是從下面的討論中就可以證明這是不可能的。

　　假設6號圈是白圈，那么1號必定是黑圈，這樣才能使下一行最右邊的成為黑圈。接著2號必須是黑圈，這樣1、2號才可

　　能使下一行最左邊的成為白圈。2號圈是黑圈，則3號圈必為白圈，同理4號圈一定是白圈，而5號圈一定是黑圈。但這樣5號和6號圈的顏色不同，下一行倒數第二個圓圈就不可能是白圈。如果一開始假設6號圈是黑圈，也會產生同樣的矛盾。

　　在一行中只有一個黑圈也是不可能的，因為黑圈的上面必定是一個黑圈和一個白圈，再稍加思考，我們就會發現一定還會有另一個黑圈出現。

　　所出現的圖案在某個階段之后一定會再重復出現，因為每行所可能出現的圖案數目有限，但卻能無限制地不斷產生新的一行。