俗話說："知己知彼，才能百戰百勝"，這一策略，同樣可以用于高考復習之中。我們不僅要不斷研究教學大綱、考試說明和教材，而且還必須研究歷年高考試題，從中尋找規律，這樣才有可能以不變應萬變，才有可能在高考中取得優異成績。縱觀近幾年的高考解析幾何試題，可以發現有這樣的規律：小題靈活，大題穩定。

　　一、解決解析幾何問題的幾條原則

　　1．重視"數形結合"的數學思想

　　2．注重平面幾何的知識的應用

　　3．突出圓錐曲線定義的作用

　　二、解析幾何中的一類重要問題

　　直線有圓錐曲線的位置關系問題是解析幾何中的一類重要問題，它是我們解決解析幾何其他問題的基礎。我們必須熟悉直線與三種圓錐曲線的位置關系，熟練掌握直線和圓錐曲線相交所所產生的有關弦長、弦的中點以及垂直等基本問題的基本解法。特別要重視判別式的作用，力爭準確地解決問題。

　　弦長問題：|AB|= 。

　　弦的中點問題：中點坐標公式-----注意應用判別式。

　　三、高考解析幾何解答題的類型與解決策略

　　Ⅰ.求曲線的方程

　　1．曲線的形狀已知

　　這類問題一般可用待定系數法解決。

　　例1 （1994年全國）

　　已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。

　　分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數法。

　　設出它們的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).

　　設A、B關于L的對稱點分別為A/、B/，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：

　　A/（ ），B/（ ）。因為A/、B/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k= ,p= .

　　所以直線L的方程為：y= x,拋物線C的方程為y2= x.

　　例2 (1993年全國)

　　在面積為1的△PMN中，tanM= ,tanN=-2,建立適當的坐標系，求出以M、N為焦點且過點P的橢圓方程。

　　分析：此題雖然與例1一樣都是求形狀已知的曲線方程問題，但不同的是例1是在給定的坐標系下求曲線的標準方程，而此題需要自己建立坐標系。為使方程簡單，應以MN所在直線為x軸，以MN的垂直平分線為y軸。這樣就可設出橢圓的標準方程，其中有兩個未知數。

　　2．曲線的形狀未知-----求軌跡方程

　　例3 （1994年全國）

　　已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數 （ >0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

　　分析：如圖，設MN切圓C于點N，則動點M組成的集合是：

　　P={M||MN|= |MQ|}，由平面幾何知識可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點坐標代入，可得：( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.

　　當 =1時它表示一條直線；當 ≠1時，它表示圓。

　　這種方法叫做直接法。

　　例4 （1999年全國）

　　給出定點A（a,0）(a>0)和直線L：x=-1，B是直線L上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系。

　　分析：設C（x,y）,B(-1,b).則直線OB的方程為：y=-bx.由題意：點C到OA、OB的距離相等，且點C在線段AB上，所以

　　y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0

　　若，y≠0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)；若y=0，則b=0,∠AOB=180?,點C的坐標為（0，0），也滿足上式。所以，點C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)。

　　當a=1時，方程表示拋物線弧；當0<a<1時，方程表示橢圓弧；當a>1時，方程表示雙曲線一支的弧。

　　一般地，如果選擇了m個參數，則需要列出m+1個方程。

　　例5 （1995年全國）

　　已知橢圓 和直線L: ，P是直線L上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上，且滿足|OQ| |OP|=|OR|2，當點P在L上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

　　分析：設Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 則

　　，代入

　　，得： (x-1)2+ (y-1)2=1.

　　注意：若將點P、Q、R分別投影到x軸上，則式子 可用|x| |xP|=|xR2|代替，這樣就簡單多了。

　　Ⅱ.研究圓錐曲線有關的問題

　　1．有關最值問題

　　例6 (1990年全國)

　　設橢圓中心為坐標原點，長軸在x上，離心率，已知點P（0， ）到這個橢圓上的點的最遠距離是 ，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于 的點的坐標。

　　分析：最值問題，函數思想。關鍵是將點P到橢圓上點的距離表示為某一變量是函數，然后利用函數的知識求其最大值。

　　設橢圓方程為 ，則由e= 得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.

　　設Q(x,y)是橢圓上任意一點，則:

　　|PQ|= = (-b y b).

　　若b< ，則- <-b,當y=-b時|PQ|max= .

　　解得：b= - > 與b< 矛盾；若b  ，則當y=- 時|PQ|max= ,解得:b=1,a=2.

　　2．有關范圍問題

　　例7 （2001春季高考題）

　　已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p。

　　（1）求a的取值范圍；

　　（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值。

　　分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，對于（1），可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即："求范圍，找不等式"。或者將a表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值,即："最值問題，函數思想"。

　　解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設直線L與拋物線兩交點的坐標分別為A（x1,y1）,B(x2,y2)，則 ,又y1=x1-a,y2=x2-a,

　　解得:

　　(2)設AB的垂直平分線交AB與點Q，令其坐標為（x3,y3），則由中點坐標公式得：

　　,

　　所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|= ，所以S△NAB=  ,即△NAB面積的最大值為 2。

　　例8  （1992年高考題）

　　已知橢圓  ，A,B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0,0)，證明：  .

　　分析：欲證x0滿足關于參數a、b的不等式，須從題中找出不等關系，由橢圓的性質可知，橢圓上的點的坐標滿足如下條件：-a≤x≤a,因此問題轉化為尋求x0與x的關系。

　　由題設知，點P在線段AB的垂直平分線上，所以|AP|=|BP|，若設A（x1,y1）,B(x2,y2),則有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因為點A、B在橢圓上，所以，

　　，從而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得：

　　例9  (2000年高考題)

　　已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點E滿足 ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當 時，求雙曲線離心率e的取值范圍。

　　分析：顯然，我們只要找到e與 的關系，然后利用解不等式或求函數的值域即可求出e的范圍。

　　解：如圖建立坐標系，這時CD⊥y軸，

　　因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱。

　　依題意，記A(-C,0)，C( h)，E(x0,y0),其中c= 為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。

　　由 ,即(x0+c,y0)=  ( -x0,h-y0)得:x0= .設雙曲線的方程為 ,則離心率e= 。由點C、E在雙曲線上,將點C、E的坐標和e= 代入雙曲線的方程得

　　將（1）式代入（2）式,整理得 (4-4 )=1+2 ,故 =1 .

　　依題設 得 ,解得 .

　　所以雙曲線的離心率的取值范圍是 .

　　例10 已知拋物線y2=2px (p≠0)上存在關于直線x+y=1對稱的相異兩點，求p的取值范圍。

　　分析：解決本題的關鍵是找到關于p的不等式。

　　設拋物線上關于直線x+y=1對稱的兩點是M(x1,y1)、N(x2,y2)，設直線MN的方程為y=x+b.代入拋物線方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.則x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.則MN的中點P的坐標為 (p-b,p).因為點P在直線x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

　　又 =(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,將b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：

　　0<p< .

　　是否存在常數a、b、c，使函數f(x)= 滿足下列條件：

　　（1）函數f(x)是奇函數；

　　（2）；f(1)<f(3) ；

　　（3）不等式0≤f(x)≤ 的解集是[-2,-1]∪[2,4]？

　　若存在，則求出不等式f(-2+sinθ) ≤m對任意θ∈R恒成立的實數m的取值范圍；若不存在，說明理由。

　　解：由函數f(x)是奇函數得：b=0。又不等式0≤f(x)≤ 的解集是[-2,-1]∪[2,4]，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0與f(x)= 的根，從而:

　　,解得：a=2，c=-4，故：

　　f(x)=  。