有4座城市，分別位于邊長(zhǎng)20km的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上。由于各城市之間的商業(yè)往來日益頻繁，政府決定設(shè)計(jì)公路網(wǎng)連接所有城市，希望經(jīng)費(fèi)能控制在最少，因此要求將公路設(shè)計(jì)得越短越好。
工程師考慮了許多方案，如圖所示的3種情形。最后的結(jié)論是認(rèn)為沿著兩條對(duì)角線AC和BD所建的公路會(huì)最短，長(zhǎng)度只有56.6km。其實(shí)這不是最短的路線，還有更好的答案。你能找到嗎？
解答與分析
其實(shí)最短的路線是如圖所示的形狀，其中有2個(gè)三叉路口，3條公路都以120°的夾角會(huì)合。利用簡(jiǎn)單的幾何學(xué)就可以證明其總長(zhǎng)度為54.6km。也可以在兩塊透明塑料板之間，用4枚直立的釘子代表正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，然后浸入肥皂水中，取出后所形成的肥皂膜形狀，也就是本題路線的形狀。其他類似的最短路線的問題，也都可以用這種方法加以解決，而且經(jīng)常會(huì)有出人意料的結(jié)果。這類問題通常被稱為史坦納問題(Steiner problems)，以紀(jì)念這位最先研究這類問題的德國(guó)數(shù)學(xué)家。
