“平行”是幾何概念，在認識直線以后教學。啟東蔡宏圣老師的教學實錄，常州趙智敏老師的教學設計，都先讓學生在熟悉的活動中提取已有經驗，再觀察、比較、分類，由表及里地體會概念的本質屬性，然后識別生活里的平行現象，加強對概念的理解。這些安排，尊重學生的數學現實，符合認知原理，較好地體現了教材的意圖。

　　我們能夠看到蔡老師厚實的教學功底和先進的教學理念。表現在：一是課的導入細致，處處為學生著想。從兩支鉛筆掉在地上的情境，思考可能出現哪些情況，引導學生利用經驗充分想象；用兩條直線表示掉在地上的兩支鉛筆，讓學生畫出可能出現的各種情況，感受數學知識與方法能表達生活現象，為認識平行積累感知材料；為學生提供點子圖，便于畫出不相交的直線，初步感知“不相交”的含義。二是課中交流有深度，時時和學生互動。如，教師指著圖形問：“這兩條直線相交嗎？”學生異口同聲回答：“不相交”。他一邊板書“不相交”，一邊說：“我們沒有看到相交，但不知把兩條直線畫得長一些，是什么結果？”這句啟發性的話語，引導學生用直線概念分析現象，畫出或想出這兩條直線是相交的，糾正了原來的認識偏差。再如，教師指著圖形問：“這兩條直線也相交嗎？”引導學生通過多種方法進行驗證，確認這兩條直線不相交……

　　趙老師對教材的使用比較充分，教師努力理解教材設計的教學線索和主要活動，盡量把教材意圖落實到教學之中。為了使學生理解直線的相交與不相交，引導學生擺小棒、畫直線，對大量感知材料進行分類、比較；為了突出“平行”是兩條直線的位置關系，結合實例及時板書“互相平行”，還讓學生說說“誰是誰的平行線”。教師還精心安排教材中“試一試”“想想做做”的教學，從安排時間看，有利于及時鞏固概念、形成技能；從教法看，預設了交流、反饋與評價……

　　研究兩位老師的教學，聯想許多教師在教學中存在的困惑，有幾點想法和大家交流。

　　第一，教材第87頁例題有三層內容，首先聯系現實情境，教學兩條直線相交與不相交；然后利用兩條直線不相交，教學“平行”的概念；最后說一說生活中常見的平行實例，用數學知識描述、解釋生活現象。

　　本單元的教學重點是平行和垂直。以前教材的單元標題為“平行與垂直”或“垂線與平行線”。本單元的標題為什么用“平行和相交”？為什么先教學直線的相交與不相交？這些問題都應在鉆研教材時弄明白。

　　可以從三個方面來回答上面的問題。首先，同一平面內的兩條直線，可能相交，可能不相交，還可能重合。相交與不相交是常見的位置關系，學生在生活中已有經驗積累，而重合不適宜小學生學習。先教學直線的相交與不相交，能把生活經驗提升成數學概念。其次，“同一平面內不相交”是平行概念的內涵，兩條直線相交成直角稱互相垂直。可見，“同一平面內不相交”與“互相平行”具有同一性，而相交與垂直是屬種關系，后者是前者的真子集。先教學直線的相交與不相交，能形成關于平行、垂直的上位觀念。這樣，全單元的重點就不會是孤立的，而是有結構的。再次，先認識直線的相交與不相交，就能通過下位學習，理解平行與垂直。這是公認的、比較好的認知線索與方式。

　　既然認識兩條直線相交與不相交是例題的一個教學層次，那么其教學過程就需要有相應的完整性。盡管兩位教師都引導學生收集豐富的感知材料，開展扎實的感知活動，認識兩條直線相交或不相交，但總感覺還缺了一點。蔡老師的一句話“經過一番分析，看來畫在點子圖上的兩條直線或者相交，或者不相交”，可以作為這一段教學的小結。如果改造成學生的回顧及小結，變成學生主動的知識建構，就能更充分發揮上位觀念對后繼學習的積極意義，為理解平行、垂直構建認知平臺。趙老師在聯系感知材料，指出兩條直線相交、不相交后，立即從不相交引出平行，顯得有點倉促。適時安排學生回顧、再認學習過程，是《數學課程標準（實驗稿）》對教學活動的要求。

　　第二，在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行。“不相交”是概念的內涵，“在同一平面內”是不可或缺的前提。學生在感知兩條直線的常見位置關系時，對“不相交”已有感受，因而建立互相平行這個概念時，會關注“不相交”，疏忽“在同一平面內”。為此，兩位教師都力求解決這個矛盾。

　　數學概念是嚴密的。概念的嚴密性要求概念教學也必須是嚴謹的。兩條異面直線雖然不相交，但不一定平行。所以，教學直線互相平行，必須指出它們在同一平面內。數學概念的建立可以分階段，學生對概念中的某一內容，如果受基礎知識、思維發展水平的制約，暫時不能透徹理解，應允許他們先知道，再逐漸深刻領會。在缺乏條件的狀況下，勉強讓他們理解異面直線，恐怕很難達到要求，即使教學投入大量時間和精力，也未必有效。

　　教學中怎樣妥善處理“同一平面內”呢？首先，教材與教學給學生提供的感知材料，如掉在地面上的兩支鉛筆，擺在桌面上的兩根小棒，畫在紙上的兩條直線，都在同一平面上。因此，揭示互相平行的含義時，可以聯系具體材料，先指出鉛筆、小棒、直線都在同一平面內。其次，可以適當舉出淺顯的實例，如桌面上的一條直線與地面上的一條直線，它們不在同一平面內，即使不相交，也不一定互相平行。以此提醒學生注意，我們說的互相平行指的是在同一平面內的直線。并可進一步告訴學生，到中學數學的學習中將會更明白。再次，不要把“在同一平面內”作為練習與考查的知識點。可以讓學生判斷畫在試卷上的幾組直線，哪些互相平行，哪些不平行，不必讓他們判斷“兩條不相交的直線互相平行”這句話是對還是錯。

　　我贊同蔡老師在反思中說的：“同一平面內”是繞不開的坎，不能不講……講得過于深，也沒必要。他選擇立交橋上、下汽車行駛路線作例子也是可以的。趙老師把“同一平面內”作為教學難點，力求在長方體上突破，無論對教還是學，要求都偏高了。兩位老師首次講“互相平行”，都只突出“不相交”，把“在同一平面內”留到后面補充說明，似乎把有關平行的兩個重點逐一教學。其實，他們首次講的“互相平行”并不嚴密，在學生建立新概念的最佳時刻，給予不完整的信息，應該是教學的缺陷。

　　第三，教材里有關畫平行線的內容也比較多。第88頁例題先讓學生自己找工具想辦法畫一組平行線，再沿著直尺平移三角尺，畫出一組平行線。第89頁第2題，把長方形紙對折兩次，折痕是平行線。

　　編排畫平行線的目的，一是進一步體驗兩條直線互相平行的含義。互相平行的直線永不相交，為了畫出不相交的兩條直線，可以借助有平行對邊或有平行線的物體為工具，沿著平行的對邊或平行的線畫，物體平移前、后，相對應的線段互相平行，可以通過平移有直邊的物體畫出平行線；把長方形紙連續對折，折痕在兩條對邊之間，互相平行且長度相等，有助于體會長方形的兩條對邊也是平行的。二是培養初步的畫圖能力，在生活和學習中，經常需要畫一組平行線，或者畫已知直線的平行線。直尺與三角尺是畫平行線的工具，掌握了畫平行線的方法，既能方便地畫出平行線，還能用來檢驗兩條直線是不是平行。

　　蔡老師在反思中說：技能與知識本是“同根”，有了知識的支撐，技能完全可能是學生心智生長的結晶，技能的學習過程完全可以富有生命成長的氣息。他是這樣想的，也是這樣做的。教學的“抽象”階段，課件演示小旗沿直尺平移的情境，在平移前后的圖形中尋找平行線，滲透了畫平行線的方法。教學的“操作”階段，學生在徒手移動直尺畫平行線時，自發需要另一根直尺作“軌道”幫助平移，不僅知道了可以怎樣畫，還明白了為什么這樣畫。畫平行線的方法不再是機械的程序知識，不再是缺少思維含量的純粹模仿。這一段教學是該課的亮點，值得大家借鑒。教材里的“想想做做”，蔡老師的實錄中沒有看到，也許受篇幅限制刪去了。趙老師把“想想做做”分兩段進行，在教學互相平行的概念后，安排第1～3題；在教學畫平行線后，安排第4、5題，這樣安排是可以的，如果把部分題目二次使用，就更好了。如第1題，在初步理解互相平行之后憑觀察、想象做出相應的判斷。在教學畫平行線以后再練習這道題，用畫平行線的工具與方法驗證。又如第2題也可以二次使用，第一次直觀判斷，第二次操作驗證。像這些習題二次使用，既有助于及時消化、鞏固新知識，又有助于知識與技能有機融合。

　　第四，數學教學講究語言準確，尤其是幾何知識的教學，稍不留心，就會用詞不妥當。兩位教師都有這種情況。“距離”是兩點之間線段的長度。點到直線的距離，是這點到這條直線的垂直線段的長度，即點與垂足之間的距離。兩條互相平行的直線的距離，是夾在兩條直線之間、垂直于兩條直線的線段長度，即兩個對應的垂足間的距離。這些“距離”都是數學概念。

　　兩條相交的直線，雖然從一條直線上任取一點，能夠畫出另一條直線的垂直線段，但畫成的垂直線段的長度在區間無限長與0之間，是不穩定的。數學里把兩條相交直線之間的距離定義為“0”。

　　蔡老師用生活概念“兩條直線間的寬度”，引導學生度量、比較兩條直線間的“寬度”，體會圖形 里的兩條直線相交，圖形里的兩條直線不相交。這一環節的設計，對學生理解平行概念可能會起到一定的作用，但仔細斟酌，其實不夠妥當，也沒有必要。首先，生活概念是日常生活中積淀的與數學有關的認識，這種認識經常不系統、不深刻，甚至不準確。生活概念有時支持數學概念，有時干擾數學概念。教學中，指出“相交直線有寬度”，還要度量和比較，這樣處理顯然是不妥當的。其次，本節課是認識平行的第一課時，只要求在直觀情境中，通過觀察和想象，判斷兩條直線是不是互相平行，也可以利用畫平行線的方法幫助判斷。給學生的直觀情境，兩條直線的位置關系比較明顯，幾乎一眼就能看出。對圖形里的兩條直線，學生的交流“畫長一些會相交”，“那條直線斜過來了”，表明他們已經看出這兩條直線的位置關系，確信兩條直線相交。對圖形里兩條直線不相交，例題只要求學生直觀判斷，不要求解釋或驗證。再次，結合教學垂直，學生還有深入認識平行的機會，如第45頁第2題兩條平行線之間的垂直線段都相等。可見，教學兩條直線相交或不相交，沒有必要使用“兩條直線間的寬度”。

　　直線與線段是兩種幾何圖形，它們有聯系，更有質的區別，趙老師在教學設計里有些疏忽。如“把每個圖形中的兩條直線都向兩端無限延長，結果會怎樣？”直線是沒有端點、無限長的，怎么向兩端無限延長呢？這句話要改成“把圖形中的直線畫長一點，看看會怎樣？”又如學生根據小棒畫成的圖形，看成直線還是看成線段？同一平面內兩條直線或是相交、或是平行，而同一平面內兩條線段還可能既不平行，又不相交。教學中把圖形里的線一會兒說是直線，一會兒說是線段不大好。