1.三邊均為整數(shù)，且最長(zhǎng)邊為11的三角形有多少個(gè)？
參考答案：
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果將11改為n的話(huà)，
n=2k-1時(shí)，為k^2個(gè)三角形；
n=2k時(shí)，為(k+1)k個(gè)三角形。
2.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的算術(shù)級(jí)數(shù)，其中一項(xiàng)是完全平方數(shù)，證明：此級(jí)數(shù)一定含有無(wú)窮多個(gè)完全平方數(shù)．
參考答案
證明：首先由級(jí)數(shù)各項(xiàng)為正可知公差d>=0,d=0,則a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一項(xiàng)為完全平方數(shù)，所有項(xiàng)均為完全平方數(shù)，由于級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)為無(wú)限，所以命題得證。
d>0，時(shí)d一定為正整數(shù)。不妨設(shè)第i項(xiàng)為完全平方數(shù)ai=k^2(i=1,2,3,...),則ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也為完全平方數(shù)，所以第i+(2k+d)d項(xiàng)為完全平方數(shù)，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)項(xiàng)均為完全平方數(shù)（數(shù)學(xué)歸納法的證明略），由于n可取無(wú)窮項(xiàng)，所以命題得證。
綜上命題成立。
3.求所有的素?cái)?shù)p，使4p^2＋1和6p^2＋1也是素?cái)?shù)．
參考答案
考慮p對(duì)5的余數(shù),余數(shù)為1時(shí)
余數(shù)為1時(shí)：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素?cái)?shù)；
余數(shù)為2時(shí)：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素?cái)?shù)；
余數(shù)為3時(shí)：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素?cái)?shù)；
余數(shù)為4時(shí)：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素?cái)?shù)；
所以由上可知5|p，然而p是質(zhì)數(shù)，所以p只能是5。
4.證明存在無(wú)限多個(gè)自然數(shù)a有下列性質(zhì)：對(duì)任何自然數(shù)n，z＝n^4＋a都不是素?cái)?shù)．
參考答案
證明：利用費(fèi)馬小定理的另一種形式p|n^(p-1)-1,(p為質(zhì)數(shù),n為任意自然數(shù))，所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z＝n^4＋a都不是素?cái)?shù)，所以命題得證。
5.證明：如果p和p＋2都是大于3的素?cái)?shù)，那么6是p＋1的因數(shù)
參考答案
p p+1 p+2 是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)其中必有一個(gè)數(shù)被3整除,
已知 P P+2是素?cái)?shù), P P+2不能被3整除. 則P+1能被3整除.
又, P是素?cái)?shù), P一定是奇數(shù), P+1是偶數(shù),
故P+1必被6整除.
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