學習要講究方法。要學會，更要會學。關于學習方法，我首先想起的是華羅庚院士的形象比喻：由薄到厚，再由厚到薄。由薄到厚是指知識的攝取和積累過程，是加法；由厚到薄是指知識的提煉和升華過程，是減法。在學習中，要會加會減，減法比加法更難、更重要。

　　在學習中，還要會問、會用、注意創新。做學問，要既學又問，問是學習的一把鑰匙。學和用要結合，在學中用，在用中學，用是學的繼續、檢驗和深化。在學習中還要有創新意識。

　　下面我根據教學和科研過程中產生的一些想法，從加、減、問、用和創新五個方面與同學們談一談。

　　1?會加

　　①勤于積累

　　攝取和積累知識是培養能力的基礎，也是研究創新的基礎。

　　“才須學也。非學無以廣才，非志無以成學”(諸葛亮語)。要有集腋成裘，積土成山的志趣。

　�、谌跁�貫通

　　要把知識點連成一片�；ハ鄿贤ǎ�左右聯系，前后呼應，融會貫通。在數學語言和力學語言之間要會翻譯：把抽象的數學公式翻譯成具體生動的物理概念；把直觀的力學思路翻譯成嚴密的數學程序。

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　　積累的知識要用心梳理，使之條理化，成為一個脈絡清晰、有主有次、有目有綱的知識網。這樣才便于儲存，便于提取，便于駕馭。

　�、苈涞厣�根

　　把別人的、書本上的知識變成自己的，化他為己，這樣的知識才是牢靠的，生了根的。牛吃草，變成奶，也就是化他為己。把新學來的知識融化在自己已有的知識結構上，把“故”作為“新”的基地，使“新”在“故”上生根發芽成長。

　　關于知識的攝取和積累，有各式各樣的理解和比喻：把摘來的核桃裝在麻袋里；把采集的草藥放在一排排藥屜里；把拾來的珍珠穿成項鏈；把點和站編制成能放能收的網……上述幾種說法，在理解上有深淺之分，在比喻上有表里之別。

　　2?會減

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　　要學會把一章內容概括成三言兩語，對一門課理出它的主要脈絡，寫人能勾出特征，畫龍會點睛。

　　會概括，會減法，是值得炫耀的。“我用十句話說清楚了人家一本書的內容以及人家一本書沒有說清的內容。”(尼采自夸)

　　會健忘才會真不忘。“一種健康的健忘，千頭萬緒簡化為二三事，留在記憶里，節省了不少心力。”(錢鐘書散文)

　�、诤喕�的能力

　　簡化有兩種：盲目簡化--不分主次，亂剪亂砍。合理簡化--分清主次，剪枝留干。

　　要會建模，即建立理想模型。建模法的要點是：善于抓住原型中起主要作用的因素，摒棄或暫時摒棄一些次要因素。也就是要善于分析綜合，分清主次(分析)，抓大放小(綜合)，達到簡化和逼真的雙重目的。簡化是化繁為簡，化難為易；逼真是反映原型的本質特征。

　　鄭板橋說，刪繁就簡三秋樹--樹也會簡化。會簡化，才會過冬。

　�、劢y帥駕馭的能力

　　學習積累的知識，要形成一個知識系統，要培養提綱挈領，統帥全局的能力，達到綱舉目張，靈活駕馭的境界。

　　一本書中有許多章、許多節、許多知識點，這些都是“目”。要能夠抓住指導全書的基本思路、統帥全書的核心策略、貫穿全書的那根主線，這就是“綱”。舉一綱而萬目張。“目”的特點是多、繁、散，“綱”的特點是少、精、帥。多、繁、散，是砂與金的混雜。少、精、帥，是吹盡黃沙始見金，舉帥旗而全軍聽指揮。

　　多、繁、散，有點抓不住。少、精、帥就好抓了，抓得牢了。抓住少、精、帥，才能帶動多、繁、散：以少帶多，以精領繁，以帥馭散。

　　能多更能少--能平鋪細說，更能一語道破。

　　能繁更能精--能旁征博引，更能直指要害。

　　能放更能收--放得開，收得攏。鋪得寬，提得起。

　　能進更能出--進得去，出得來，還能深入淺出。

　　④棄形取神的能力

　　“余畫小雞二十年，十年能得形似，十年能得神似。”(齊白石題《小雞》)，畫家講形似，更推崇神似，講究棄形取神。在學習和科學研究中，同樣要培養由表入里、棄形取神的能力：

　　個別到一般--舍棄千差萬別的個性和特殊性，摘取其中的共性和普遍性。

　　具體到抽象--舍棄不同問題的具體性，提練為一般原理的抽象性。

　　現象到規律--舍棄現象的表面形態，洞察出深藏的本質和內在的規律。

　　溫故到創新--拆除舊觀念的籬笆，標新立異，另辟新路，開拓新途徑和新領域。

　　3?會問

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　　學習中要多問，多打幾個問號。“?”象一把鑰匙，一把開啟心扉和科學迷宮的鑰匙。

　�、谝獣�問

　　學習中提不出問題是學習中最大的問題。老師從學生提出的問題可以了解他學習的深淺。發現了問題是好事，抓住的隱藏的問題是學習深化的表現。

　　知惑才能解惑。學習和研究就是困惑和解惑的過程。善于提出問題是解決問題的重要一步。Hilbert1900年向數學界提出了23個有待解決的問題(稱為Hilbert問題)，一百年來吸引了無數數學家的目光，為數學學科開疆辟土，締造了20世紀數學的輝煌。

　�、垡�追問

　　重要的問題要抓住不放，要層層剝筍，究追緊逼，一直追到核心問題。把核心問題解決了，能收到豁然貫通的效果。這就是提問中的減法。

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　　問別人，更要問自己。

　　好老師注意啟發性，引導思考，為學生留出思考的空間。學習時更要勤于思考，善于思考，為自己開辟思考的空間。

　　4?會用

　　學而時習之(論語)。學習=學＋習。什么是“習”，通常把“習”理解為復習；更準確些，應把“習”理解為用，理解為實踐。練習、實習、演習、習題、習作等等都是“習”，也就是用：應用和實踐。“用”是“學”的繼續、深化和檢驗。與“學”相比，“用”有更豐富的內涵：

　　多面性--把知識應用于解決各式各樣的問題，把單面的知識化為多面的知識。

　　綜合性--處理問題時，要綜合應用多種方法和知識。分門別類地學，綜合優選地用。

　　反思性--正面學，反面用。計算時由因到果，校核時由果到因。

　　跳躍性--循規蹈矩地學，跳躍式地用。

　　靈活性--初學未用的知識往往是呆板的，多方應用過的知識就變活了，用能生巧。

　　牢固性--反復應用過的知識是牢固的，經久難忘。

　　悟性--學習可以獲得言傳的知識，應用可以體驗難以言傳的悟性。

　　檢驗性--學來的知識是真懂、半懂還是不懂，考幾道題就分辨出來了。

　　此外，還要對“習題”和“校核”兩個具體問題作些議論：

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　　做題練習，是學習的重要環節。不做一定數量的習題，就很難對基本概念和方法有深入的理解，也很難培養較好的計算能力。但是做題也要避免各種盲目性。舉例如下：

　　不看書，不復習，埋頭做題，這是一種盲目性。應當在理解的基礎上做題，通過做題來鞏固和加深理解。

　　貪多求快，不求甚解，這是另一種盲目性。有的習題要精做：一道題用三種方法做，往往比用一種方法做三道題更有收獲。

　　只會對答數，不會自己校核和判斷，這也是一種盲目性。要養成校核習慣，學會自行校核的本領。在實際工作中，計算人員要對自己交出來的計算結果負責。這種負責精神應當及早培養。

　　做錯了題不改正，不會從中吸取教訓，這也是一種盲目性。做錯了題不改正，就是輕率地扔掉了一個良好的學習機會。特別不要放過一個似是而非的模糊概念，因為認識真理的主要障礙不是明顯的謬誤，而是似是而非的“真理”。錯了，也要錯個明白。

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　　計算的結果要經過校核。“校核”是“計算”中應有之義。沒有校核過的計算書是未完成的計算書。

　　出錯是難免的。重要的是要會判斷、抓錯和改錯。判斷是對計算結果的真偽性和合理性作出鑒定。抓錯是分析錯誤根源，指明錯在何處，“鬼”在哪里，并把“鬼”抓出來。改錯是提出改正對策，得出正確結果。改錯不易，判斷、抓錯更難。

　　關于判斷和校核，還可分為三個層次：細校、粗算和定性。

　　另法細校：細校是指詳細的定量的校核。細校不是重算一遍，而是提倡用另外的方法來核算。這就要求校核者了解多種方法，掌握十八般武器，并能靈活地運用，選用最優的方法。

　　毛估粗算：粗算是指采用簡略的算法對計算結果進行毛估，確定其合理范圍。這就要求粗算者能分清主次，抓大放小，對大事不糊涂。毛估粗算有多種做法：選取簡化計算模型，在公式中忽略次要的項，檢查典型特例，考慮問題的極限情況，等等。

　　定性判斷：定性判斷是根據基本概念來判斷結果的合理性，而不進行定量計算。

　　5?創新

　　科學精神的精髓是求實創新。創新，即推陳出新，破舊立新，有推有出，有破有立。

　　創新并不神秘。把知識向前推進一步，向更廣、更深、更精、更神的方向邁出一步，都是創新的一步。創新意識要貫穿在整個學習過程中，在加、減、問、用各個方面都要著眼于創新，有心于創新。

　　加--在繼承中創新。每項創新成果都吸取了前人的成果。像牛頓那樣站在巨人肩上才能看得更遠。廣采厚積是創新的基礎。

　　減--在“去粗取精，棄形取神”的減法過程中要注意“去”和“棄”。在“推陳出新、破舊立新”的創新過程中要注意“推”和“破”。二者是相通的。

　　問--在已有知識中發現疑點，感到困惑，是走向解惑和創新的起點。創新是善問巧思的回報。

　　用--在應用和實踐中對已有知識進行檢驗，發現其中的不足而加以改進，這就是創新。實踐為創新提供了機遇。

　　創新不能違反客觀規律。在求實中創新，“出新意于法度之中”(蘇軾語)。在客觀規律的容許之下，創造力有充分的自由活動空間。

　　把上面的議論梳理一下，歸結為五句話：

　　加--廣采厚積，織網生根。

　　減--去粗取精，棄形取神。

　　問--知惑解惑，開啟心扉。

　　用--實踐檢驗，用中生巧。

　　創新--覓真理立巨人肩上，出新意于法度之中。