1.2 環(huán)形路上的行程問(wèn)題
人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān).
例9 小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
（1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？
（2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是
500÷1.25-180=220（米/分）.
（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個(gè)周長(zhǎng)），因此需要的時(shí)間是
500÷（220-180）＝12.5（分）.
220×12.5÷500＝5.5（圈）.
答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.
例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).
解：第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng)；第二次相遇，兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是
80×3＝240（米）.
240-60=180（米）.
180×2＝360（米）.
答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.
在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).
例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問(wèn)小張和小王的速度各是多少？
解：畫示意圖如下：
如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是
40×3÷60＝2（小時(shí)）.
從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了
6×2-2＝10（千米）.
小王已走了 6＋2=8（千米）.
因此，他們的速度分別是
小張 10÷2＝5（千米/小時(shí)），
小王 8÷2=4（千米/小時(shí)）.
答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).
例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？
解：畫示意圖如下.
第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了
3.5×3＝10.5（千米）.
從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了
3.5×7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇處，離乙村
8.5-7.5=1（千米）.
答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.
下面仍回到環(huán)行路上的問(wèn)題.
例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問(wèn)：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？
解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：
12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.
出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了
此時(shí)兩人相距
24-（8＋11）=5（千米）.
由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是
5÷（4＋6）＝0.5（小時(shí)）.
2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.
答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.
例14 一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较蜓刂鴪A周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？
解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.
30÷（5-3）＝15（秒）.
因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要
90÷（5-3）＝45（秒）.
B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是
15，，105，150，195，……
再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.
第一次是出發(fā)后
30÷（10-5）=6（秒），
以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要
90÷（10-5）＝18（秒），
A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是
6，24，42，，78，96，…
對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.
答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.
請(qǐng)思考， 3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？
例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求
解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過(guò)程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.
設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.
根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出
分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.
從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們?cè)贏B中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時(shí)間相等.
PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間
=DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間
=18-12
=6.
而（PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間）是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得
PC上所需時(shí)間是（24+6）÷2＝15，
PD上所需時(shí)間是24-15＝9.
現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時(shí)間相等，就有
BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間
=P→D→A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間
=（9＋18）-12
= 15.
BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間
=16.
立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.
從這一例子可以看出，對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些.
