4.2  構造法

構造法是一種重要的數學方法，它靈活多樣，數論中的許多問題都可以通過構造某些特殊結構、特殊性質的整數或整數的組合來解決。

例5 9999和99！能否表示成為99個連續的奇自然數之和？

解：9999能。因為9999等于99個9998之和，所以可以直接構造如下：

9999=（9998-98）+（9998-96）+…+

=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+

=（9998+96）+（9998+98）。

99！不能。因為99！為偶數，而99個奇數之和為奇數，所以99！不能表示為99個連續奇數之和。

說明：利用構造法證明存在性問題，只要把滿足題設要求的數學對象構造出來就行。

例6 從1，2，3，…，999這999個數中，要求劃去盡量少的數，使得余下的數中每一個數都不等于另外兩個數的乘積。應劃去哪些數？

解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個數，因為劃去了上述這30個數之后，余下的數中，除1以外的任何兩個數之積將大于322=1024＞999。

另一方面，可以通過構造三元數組來證明30是最少的個數。

（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，

（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

上面寫出的這些數都是互不相同的，并且這些數中的最大數為 31×32=992。如果劃去的數少于30個，那么上述三元數組至少剩下一個，這樣就不滿足題設條件。所以，30是最少的個數。