4.3  配對法

　　配對的形式是多樣的，有數字的湊整配對，也有集合間元素與元素的配對（可用于計數）。傳說高斯8歲時求和（1+2+…+100）首創了配對。像高斯那樣，善于使用配對技巧，常常能使一些表面上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。

　　例7 求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個數中所有數碼的和。

　　解：在這些數前面添一個數0，并不影響所有數碼的和。將這1000萬個數兩兩配對，因為0與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對的數碼和都是9×7=63。這里共有5000000對，故所有數碼的和是63×5000000=315000000。

　　例8 某商場向顧客發放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數的號碼，從0001到9999號。若號碼的前兩位數字之和等于后兩位數字之和，則稱這張購物券為“幸運券”。

　　例如號碼 0734，因 0+7=3+4，所以這個號碼的購物券是幸運券。試說明，這個商場所發的購物券中，所有幸運券的號碼之和能被101整除。

　　解：顯然，號碼為9999的是幸運券，除這張幸運券外，如果某個號碼n是幸運券，那么號碼為m=9999-n的購物券也是幸運券。由于9999是奇數，所以m≠n。

　　由于m+n=9999，相加時不出現進位，所以除去號碼是9999這張幸運券之外，其余所有幸運券可全部兩兩配對，而每一對兩個號碼之和均為9999，即所有幸運券號碼之和是9999的倍數。

　　因為9999=99×101，所以所有幸運券號碼之和能被101整除。

　　試說明分子m是質數89的倍數。

　　解法：作配對處理

　　將括號內的分數進行通分，其公分母為

　　1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

　　從而

　　m×88！=89×k（k=n×q）。

　　因為89為奇質數，所以89不能整除88！，從而89|m。