第八講 比和比例關系

　　比和比例，是小學數學中的最后一個內容，也是學習更多數學知識的重要基礎.有了“比”這個概念和表達方式，處理倍數、分數等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學同學學完這一講，對“除法、分數、比例實質上是一回事，但各有用處”有所理解.

　　這一講分三個內容：

　　一、比和比的分配；

　　二、倍數的變化；

　　三、有比例關系的其他問題.

　　8.1  比和比的分配

　　最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數量關系，求出新的比.

　　例1 甲、乙兩個長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是3∶2，乙的長與寬之比是7∶5.求甲與乙的面積之比.

　　解：設甲的周長是2.

　　甲與乙的面積之比是

　　答：甲與乙的面積之比是864∶875.

　　作為答數，求出的比最好都寫成整數.

　　例2 甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？

　　解一：設每種糖果所花錢數為1，因此平均價是

　　答：這些糖果每千克平均價是27.5元.

　　上面解法中，算式很容易列出，但計算卻使人感到不易.最好的計算方法是，用22，30，33的最小公倍數330，乘這個繁分數的分子與分母，就有：

　　事實上，有稍簡捷的解題思路.

　　解二：先求出這三種糖果所買數量之比.

　　不妨設，所花錢數是330，立即可求出，所買數量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

　　平均數是（15+11+10）÷3=12.

　　單價33元的可買10份，要買12份，單價是

　　下面我們轉向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當一個數量被分成若干個數量，如果知道這些數量之比，我們就能求出這些數量.

　　例3 一個分數，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

　　解：新的分數，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比2∶3.因此

　　例4 加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現有1825個零件要加工，為盡早完成任務，甲、乙、丙應各加工多少個？所需時間是多少？

　　解：三人同時加工，并且同一時間完成任務，所用時間最少，要同時完成，應根據工作效率之比，按比例分配工作量.

　　三人工作效率之比是

　　他們分別需要完成的工作量是

　　所需時間是

　　700×3=2100分鐘）=35小時 .

　　答：甲、乙、丙分別完成700個，600個，525個零件，需要35小時.

　　這是三個數量按比例分配的典型例題.

　　例9 某團體有100名會員，男會員與女會員的人數之比是14∶11，會員分成三個組，甲組人數與乙、丙兩組人數之和一樣多.各組男會員與女會員人數之比是：

　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，

　　那么丙有多少名男會員？

　　解：甲組的人數是100÷2=50（人）.

　　乙、丙兩組男會員人數是 56-24=32 （人）.

　　答：丙組有12名男會員.