8.2  比的變化

　　已知兩個數量的比，當這兩個數量發生增減變化后，當然比也發生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數量呢？這就是這一節的內容.

　　例11 甲、乙兩同學的分數比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分數比是5∶7.甲、乙原來各得多少分？

　　解一：甲、乙兩人的分數之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統一起來？這是解題的關鍵.9與12的最小公倍數是36，我們讓變化前后都按36份來算.

　　5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.

　　5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.

　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當于20-15=5份.因此原來

　　甲得22.5÷5×20=90（分），

　　乙得 22.5÷5×16=72（分）.

　　答：原來甲得90分，乙得72分.

　　我們再介紹一種能解本節所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.

　　解二：設原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據得分變化，可列出比例式.

　　（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7

　　即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）

　　15x=12×22.5

　　x=18.

　　甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

　　解：其他球的數量沒有改變.

　　增加8個紅球后，紅球與其他球數量之比是

　　5∶（14-5）=5∶9.

　　在沒有球增加時，紅球與其他球數量之比是

　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.

　　因此8個紅球是5-4.5=0.5（份）.

　　現在總球數是

　　答：現在共有球224個.

　　本題的特點是兩個數量中，有一個數量沒有變.把1∶2寫成4.5∶9，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解：

　　（x+8）∶2x=5∶9.

　　例13 張家與李家的收入錢數之比是8∶5，開支的錢數之比是8∶3，結果張家結余240元，李家結余270元.問每家各收入多少元？

　　解：我們采用“假設”方法求解.

　　如果他們開支的錢數之比也是8∶5，那么結余的錢數之比也應是8∶5.張家結余240元，李家應結余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　實際上李家結余270元，比150元多120元.這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：張家收入720元，李家收入450元.

　　例14 A和B兩個數的比是8∶5，每一數都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數.

　　解：減少相同的數34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數之差并沒有變，解題時要充分利用這一點.

　　8∶5，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1.將前項與后項都乘以3，即2∶1=6∶3，使兩者也相差3份.現在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A數是17×8=136，B數是17×5=85.

　　答：A，B兩數分別是136與85.

　　本題也可以用例13解一“假設”方法求解，不過要把減少后的2∶1，改寫成8∶4.

　　例15 小明和小強原有的圖畫紙之比是4∶3，小明又買來15張.小強用掉了8張，現有的圖畫紙之比是5∶2.問原來兩人各有多少張圖畫紙？

　　解：充分利用已知數據的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數分成7份，變化后總數仍分成7份，總數多了7張，因此，

　　新的1份=原來1份+1

　　原來4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×4=11（張）.

　　小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），

　　小強原有圖畫紙11×2+8=30（張）.

　　答：原來小明有40張，小強有30張圖畫紙.

　　例11至15這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術方法，卻可以充分利用已知數據的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應變的解題思路.另外，解方程的代數運算，對小學生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應啟發小同學善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數據的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維.

　　例16 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點5小時，細蠟燭可以點4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點了多少時間？

　　我們把問題改變一下：設細蠟燭長度是2，每小時點

　　等需要時間是

　　答：這兩支蠟燭點了3小時20分.

　　把細蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個稍復雜的例子.

　　例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數比白球數多多少只？

　　解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應剩51只.

　　因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后應剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.

　　紅球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.

　　白球有 7×7＋3＝52（只）.

　　原來紅球比白球多 158-52＝106（只）.

　　答：箱子里原有紅球數比白球數多106只.