一、整數乘分數的意義

　　從下面的數學情景，可以獲得整數乘分數的具體意義。

　　下圖（圖1）中4個正方形，每個正方形為1個面積單位，涂色部分的面積是多少？

　　圖1

　　不難看出：涂色部分的面積＝的4倍。這是用1個正方形的為度量單位，去度量涂色部分，4是得到的量數。

　　即＋＋＋＝

　　＝

　　＝3。

　　由于＋＋＋可以簡寫為×4或4×，

　　所以，×4＝＝4，或4×＝＝4。①

　　再看圖1，涂色部分的面積＝4的。這是用4個正方形視為一個整體，去度量陰影部分，是得到的量數。

　　所以，4的＝的4倍。

　　即4的＝×4或4×。

　　所以，乘法算式4×（也可以寫成4×）有兩種意義：既可以表示4的，也可以表示的4倍。

　　應用上面的算法①，進行整數乘分數的必要的練習后，讓學生討論，嘗試用自己的語言去總結分數與整數相乘的計算方法，即讓學生參與算法的形式化過程。只要學生能說到以下兩點，都要加以肯定。

　　⑴分子和整數相乘；⑵分母不變。

　　二、分數乘分數的意義

　　再看下面的數學情景：

　　下圖（圖2）中的長方形，面積是1個面積單位，其中斜線的部分是它的，紅色部分是斜線部分的。紅色部分的面積是多少？

　　圖2

　　即×＝×＝。②

　　這個計算結果是依靠圖形直觀，“看”出來的。如果算，應該怎么算呢？這就要求創造一個算法過程，合乎情理地溝通算式②兩邊的內在聯系。學生是有能力進行這個算法過程的再創造的：

　　×＝＝。

　　再看下圖（圖3）中的長方形，其中斜線部分是它的，紅色部分是它的。紅色部分的面積是多少？

　　圖3

　　因此，乘法算式×（也可以寫成×）也有兩種意義：既可以表示的，也可以表示的。

　　進而，對兩個分數相乘的算法也要形式化，即總結算法：分子相乘，分母也相乘。

　　事實上，如果把整數視為分母是1的分數，那么整數乘分數的乘法就是分數乘分數的特例而已。

　　如，4×＝×

　　＝

　　＝

　　＝。

　　三、分數乘法的算理

　　如上所述，×＝＝。

　　一般地，m、n為非零自然數時，×＝。這個關系奠定了分數乘法運算的基礎。

　　如，×＝（3×）×（5×）分數的意義

　　＝15×

　　＝分數的意義

　　＝。約分

　　又如，2×＝（2＋）×帶分數的意義

　　＝2×＋×乘法分配律

　　＝＋分數的乘法

　　＝＋通分

　　＝同分母分數的加法

　　＝。約分

　　或者2×＝×帶分數化為假分數

　　＝

　　＝

　　＝。

　　一般地說，把帶分數化為假分數，作乘法運算比較簡便。

　　四、倒數的意義

　　掌握了分數乘法的計算方法后，我們同樣能夠獲得前面從“分數墻”上發現的乘法算式：

　　×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，

　　×＝1，×＝1，×＝1。

　　基于這些特殊的乘法算式，又引出一個重要的概念--倒數。

　　如果兩個數的乘積是1，那么我們稱其中一個數是另一個數的倒數。例如，的倒數是2，2的倒數是，2與是互為倒數。

　　0為什么沒有倒數？

　　一般的解釋是，因為0乘任何數都得0，積不可能是1。

　　其實，也可以回顧上面那些乘積是1的算式，是怎么從“分數墻”上發現的。因為量＝度量單位×量數，當量是1時，度量單位×量數＝1。即當量是1時，度量單位與量數互為倒數。

　　但是把0作為度量單位是沒有實際意義的，用它量不出任何結果。所以，0不可能是任何數的倒數，因此0也沒有倒數。

　　（2006年9月30日寫于福州，2007年2月26日修改畢）