知識網(wǎng)絡(luò)

　　列方程解應(yīng)用題最關(guān)鍵是前兩步：設(shè)未知數(shù)和列方程。有的同學(xué)說解方程的部分不是篇幅很長么，為什么不是關(guān)鍵部分呢？其實，只要仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，雖然篇幅很長，但只要注意到符號變化、分配律等基本運算技巧，解的過程是較容易掌握的。相反，前兩步篇幅雖然短，但列方程解應(yīng)用題的精華和難點卻大部分集中在這里，需要用以體會。

　　一般地，設(shè)什么量為未知數(shù)，最簡單明了的想法是設(shè)所求為x（復(fù)雜的題目有時要采取迂回戰(zhàn)術(shù)，間接地設(shè)未知數(shù)），當所求的數(shù)較多時，把這些所求的數(shù)量用一個或盡量少的未知數(shù)表達出來，也是很重要的。

　　設(shè)完未知數(shù)，就要找等量關(guān)系，來幫助列出方程。這時需要認真讀題，因為許多等量關(guān)系是隱藏在字里行間的。中文有很多字、詞、句表達相等的意思，如“相等”、“是”、“比……多……”、“比……少……”、“……是……的幾倍”、“……的總和是……”、“……與……的差是……”等等，根據(jù)這些字句的含義，再加上其中的量用未知數(shù)表達出來，就能列出方程。

　　重點·難點

　　列方程解應(yīng)用題是用字母來代替未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，也就是列出方程，然后解出未知數(shù)的值，列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點在于可以使未知數(shù)直接參加運算。解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵在于能夠正確地設(shè)立未知數(shù)，找出等量關(guān)系從而建立方程。而找出等量關(guān)系又在于熟練運用數(shù)量之間的各種已知條件。掌握了這兩點就能正確地列出方程。

　　學(xué)法指導(dǎo)

　　（1）列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：

　　1）弄清題意，找出已知條件和所求問題；

　　2）依題意確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)x；

　　3）根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

　　4）解方程；

　　5）檢驗，寫出答案。

　　（2）初學(xué)列方程解應(yīng)用題，要養(yǎng)成多角度審視問題的習(xí)慣，增強一題多解的自覺性，逐步提高分析問題、解決問題的能力。

　　（3）對于變量較多并且變量關(guān)系又容易確定的問題，用方程組求解，過程更清晰。

　　經(jīng)典例題

　　例1   某縣農(nóng)機廠金工車間有77個工人。已知每個工人平均每天加工甲種零件5個或乙種零件4個或丙種零件3個。但加工3個甲種零件、1個乙種零件和9個丙種零件才恰好配成一套。問：應(yīng)安排生產(chǎn)甲、乙、丙種零件各多少人時，才能使生產(chǎn)的三種零件恰好配套。

　　思路剖析

　　如果直接設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件的人數(shù)分別為x人、y人、z人，根據(jù)共有77人的條件可以列出方程x+y+z=77，但解起來比較麻煩        如果仔細分析題意，會出現(xiàn)除了上面提到的加工甲、乙、丙三種零件的人數(shù)為未知數(shù)外，還有甲、乙、丙三種零件各自的總件數(shù)也未知。而題目中又有關(guān)于甲、乙、丙三種零件之間裝配時的內(nèi)在聯(lián)系，這個內(nèi)在聯(lián)系可以用比例關(guān)系表示，而乙種零件件數(shù)又在中間起媒介作用。所以如用間接未知數(shù)，設(shè)已種零件總數(shù)為x個，為了配套，甲種、丙種零件件數(shù)總數(shù)分別為3x個和9x個，再根據(jù)生產(chǎn)某種零件人數(shù)=生產(chǎn)這種零件的個數(shù)÷工人勞動效率，可以分別求出生產(chǎn)甲、乙、丙種零件需安排的人數(shù)，從而找出等量關(guān)系，即按均衡生產(chǎn)推算的總?cè)藬?shù)，列出方程 解  答

　　設(shè)加工乙種零件x個，則加工甲種零件3x個，加工丙種零件9x個。

　　答：應(yīng)安排加工甲、乙、丙三種零件工人人數(shù)分別為12人、5人和60人。

　　例2   牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃幾天？

　　思路剖析

　　這是以前接觸過的“牛吃草問題”，它的算術(shù)解法步驟較多，這里用列方程的方法來解決。

　　設(shè)供25頭牛可吃x天。

　　本題的等量關(guān)系比較隱蔽，讀一下問題：“每天牧草都勻速生長”，草生長的速度是固定的，這就可以發(fā)掘出等量關(guān)系，如從“供10頭牛吃20天”表達出生長速度，再從“供15頭牛吃10天”表達出生長速度，這兩個速度應(yīng)該一樣，就是一種相等關(guān)系；另外，最開始草場的草應(yīng)該是固定的，也可以發(fā)掘出等量關(guān)系。

　　解  答

　　設(shè)供25頭牛可吃x天。

　　由：草的總量=每頭牛每天吃的草×頭數(shù)×天數(shù)

　　=原有的草+新生長的草

　　原有的草=每頭牛每天吃的草×頭數(shù)×天數(shù)-新生長的草

　　新生長的草=草的生長速度×天數(shù)

　　考慮已知條件，有

　　原有的草=每頭牛每天吃的草×10×20-草的生長速度×20

　　原有的草=每頭牛每天吃的草×15×10-草的生長速度×10

　　所以：原有的草=每頭牛每天吃的草×200-草的生長速度×20

　　原有的草=每頭牛每天吃的草×150-草的生長速度×10

　　即：每頭牛每天吃的草×200-草的生長速度×20

　　=每頭牛每天吃的草×150-草的生長速度×10

　　每頭牛每天吃的草×200草的生長速度×20+每頭牛每天吃的草×150-草的生長速度×10

　　每頭牛每天吃的草×200-每頭牛每天吃的草×150

　　=草的生長速度×20-草的生長速度×10

　　每頭牛每天吃的草×（200-150）=草的生長速度×（20-10）

　　所以：每頭牛每天吃的草×50=草的生長速度×10

　　每頭牛每天吃的草×5=草的生長速度

　　因此，設(shè)每頭牛每天吃的草為1，則草的生長速度為5。

　　由：原有的草=每頭牛每天吃的草×25x-草的生長速度×x

　　原有的草=每頭牛每天吃的草×10×20-草的生長速度×20

　　有：每頭牛每天吃的草×25x-草的生長速度×x

　　=每頭牛每天吃的草×10×20-草的生長速度×20

　　所以：1×25x-5x=1×10×20-5×20

　　解這個方程

　　25x-5x=10×20-5×20

　　20x=100

　　x=5（天）

　　答：可供25頭牛吃5天。

　　例3    某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計劃修建住宅多少座？

　　解  答

　　設(shè)計劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程

　　解法一：用直接設(shè)元法。

　　80x-40=(30x+40)×2

　　80x-40=60x+80

　　20x=120

　　x=6（座）

　　解法二：用間接設(shè)元法。

　　設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。

　　（x-40）÷30=（2x+40）÷80

　　（x-40）×80=（2x+40）×30

　　80x-3200=60x+1200

　　20x=4400

　　x=220(米3)

　　由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

　　同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們練習(xí)。

　　答：計劃修建住宅6座。

　　例4   兩個數(shù)的和是100，差是8，求這兩個數(shù)。

　　思路剖析

　　這道題有兩個數(shù)均為未知數(shù)，我們可以設(shè)其中一個數(shù)為x，那么另一個數(shù)可以用100-x或x+8來表示。

　　解  答

　　解法一：設(shè)較小的數(shù)為x，那么較大的數(shù)為x+8，根據(jù)題意“它們的和是100”，可以得到：

　　x+8+x=100

　　解這個方程：2x=100-8

　　所以   x=46

　　所以  較大的數(shù)是  46+8=54

　　也可以設(shè)較小的數(shù)為x，較大的數(shù)為100-x，根據(jù)“它們的差是8”列方程得：

　　100-x-x=8

　　所以   x=46

　　所以  較大的數(shù)為100-46=54

　　答：這兩個數(shù)是46與54。