對(duì)稱性：函數(shù)圖象存在的一種對(duì)稱關(guān)系，包括點(diǎn)對(duì)稱和線對(duì)稱。

　　周期性：設(shè)函數(shù) 的定義域是 ，若存在非零常數(shù) ，使得對(duì)任何 ，都有 且 ，則函數(shù) 為周期函數(shù)， 為 的一個(gè)周期。

　　對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢？本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評(píng)指正。

　　一、一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱。

　　命題1：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和點(diǎn)　對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　從而

　　∴ 即：

　　∴ 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于點(diǎn)　對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于兩點(diǎn) 和 對(duì)稱，那么：

　　當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。

　　證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　從而

　　當(dāng) ， 時(shí)

　　∴

　　即：

　　∴當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　當(dāng) ， 時(shí)

　　∴

　　∴

　　∴當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。

　　當(dāng) ， 時(shí)

　　∴ （與條件矛盾，舍去）

　　綜合得原命題成立。

　　二、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于一個(gè)點(diǎn)和一條線對(duì)稱。

　　命題2：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線　對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　從而

　　∴ 即：

　　∴

　　即：

　　∴ 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于直線　對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　從而

　　∴

　　即：

　　∴

　　即：

　　∴ 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。

　　三、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于兩條線對(duì)稱。

　　命題3：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。

　　證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，

　　∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。

　　從而

　　∴ 即：

　　∴

　　∴ 是以 為周期的周期函數(shù)。