比賽的人輪流投擲飛鏢，并累積計(jì)算各人的總分，先達(dá)到預(yù)定分?jǐn)?shù)的人贏。

　　當(dāng)凱蒂和海倫在玩這個(gè)游戲時(shí)，她們發(fā)現(xiàn)不論怎么玩就是無法達(dá)到某些分?jǐn)?shù)，如21分。于是她們坐下來，拿出紙和筆，研究到底有哪些分?jǐn)?shù)是無法達(dá)到的。結(jié)果她們發(fā)現(xiàn)，只要超過某個(gè)分?jǐn)?shù)之后，任何分?jǐn)?shù)都可以達(dá)到。因此她們約定將來再玩時(shí)，所設(shè)定的目標(biāo)分?jǐn)?shù)一定要夠大才行。

　　請(qǐng)找出無法達(dá)到的總分。

　　如果改變內(nèi)圈與外圈的分?jǐn)?shù)，對(duì)于目標(biāo)分?jǐn)?shù)的形式會(huì)有何影響？

　　如果內(nèi)圈是m分，外圈是n分，你能找出計(jì)算無法達(dá)到的最大總分是多少的公式嗎？

答案與分析：

　　在11分以內(nèi)，只有4的倍數(shù)可能達(dá)到。11和12當(dāng)然也可能。如果13是可能的，它必須等于先前可能達(dá)到的分?jǐn)?shù)加4或加11，但是13-4=9，13-11＝2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。同理，14是不可能的，但15是可能的，因?yàn)?5-4＝11。繼續(xù)依同樣的方式推算，可以證明29是不可能達(dá)到的，但之后的

　　30＝2× (11)＋2×④

　　31＝ ＋5×④

　　32＝ 8×④

　　33＝3×)

　　有4個(gè)連續(xù)可能達(dá)到的分?jǐn)?shù)，因此之后的4個(gè)連續(xù)分?jǐn)?shù)也必定是可能達(dá)到的，因?yàn)椋?/p>

　　34＝30＋4 35＝31＋4 36＝32＋4

　　37＝33＋4

　　故以歸納法推論，任何大于29的分?jǐn)?shù)都可以達(dá)到。

　　不可能達(dá)到的分?jǐn)?shù)如下：

　　1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18，

　　21，22，25，29

　　一般來說，要是m與n除了1以外沒有公因數(shù)，則不可能達(dá)到的最大分?jǐn)?shù)是

mn-m-n

　　然而，如果m與n有一個(gè)公因數(shù)d，那么就只有d的倍數(shù)才可能達(dá)到，因此無法找到一個(gè)最大的不可達(dá)到的目標(biāo)分?jǐn)?shù)。證明上面的公式已超出本書的范圍，但是以下述的方式分析題目中的例子，也可以使我們了解為什么這個(gè)結(jié)果可能是對(duì)的。

　　先只考慮4，所有4的倍數(shù)都是可達(dá)到的。接著要證明的就是加上11的倍數(shù)，并超過某一數(shù)目之后，任何分?jǐn)?shù)都是可達(dá)到的。

　　由于

11＝2×4＋3

22＝5×4＋2

33＝8×4＋1

　　故11的前三個(gè)倍數(shù)與4的倍數(shù)分別相差3、2、1，因此可以把它們寫成如下的形式：

4n＋3 4n＋2 4n＋1

　　所以33以上的所有分?jǐn)?shù)都是可能達(dá)到的。略加思考之后，我們又知道不可能達(dá)到的最大分?jǐn)?shù)應(yīng)該比33少4，它的形式應(yīng)該是

(4-1)×11-4

　　如以通式表示，則：

(n-1)m-n＝nm-m-n