學而思奧數天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎訓練、考題學習經歷，并且奧數成績中上的學生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應用和加深各知識點，適合一些志在競賽 中奪取佳績的學生。

　　·本周試題由學而思奧數名師章喜精選、解析，以保證試題質量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時間不應超過15分鐘。

　　難度：★★★★

　　小學六年級奧數天天練：整除問題

　　已知兩數和是60，它們的最大公約數與最小公倍數之和是84，求此二數．
 

    解答：

　　【小結】找到最大公約數和最小公倍數之間的關系。
 

　　難度：★★★★★

　　小學六年級奧數天天練：整除問題

　　已知定由"若大于3的三個質數a、b、c滿足關系式2a+5b=c，則a+b+c是整數n的倍數"．試問：這個定理中的整數n的最大可能值是多少?請證明你的結論．

　　分析與解答：先將a+b+c化為3(a+2b)的形式，說明a+b+c是3的倍數，然后利用整除的性質對a、b被3整除后的余數加以討論得出a+2b也為3的倍數．

　　∵  =a+b+2a+5b=3(a+2b)，

　　顯然，3│a+b+c

　　若設a、b被3整除后的余數分別為r_a、r_b，則r_a≠0， rb ≠0．

　　若r_a≠rb，則r_a=2，r_b=1或r_a=1，r_b=2，則2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b為合數與已知c為質數矛盾．

　　∴  只有r_a=r_b，則r_a=r_b=1或r_a=r_b=2．

　　于是a+2b必是3的倍數，從而a+b+c是9的倍數．

　　又2a+5b=2×11十5×5=47時，=

　　a+b+c=11+5+47=63，

　　2a+5b =2×13十5×7=61時，

　　a+b+c =13+7+61=81，

　　而(63，81)=9，故9為最大可能值．

　　【小結】由余數切入進行討論，是解決整除問題的重要方法．