運(yùn)用通性通法，讓數(shù)學(xué)課堂在變中出彩

　　——數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的體會

　　摘要:數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)的目的是在短時間內(nèi)幫助學(xué)生熟練掌握所學(xué)知識，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。而運(yùn)用通性通法進(jìn)行“變式訓(xùn)練”是完成這一目標(biāo)的良好方法之一。本文從結(jié)構(gòu)上、題目上、方法上、思維上四個方面進(jìn)行變式訓(xùn)練。從邏輯推理上演繹出幾個或一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關(guān)知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題、探究創(chuàng)新以及靈活多變的思維能力。

　　關(guān)鍵詞: 通性通法；變式訓(xùn)練；中考復(fù)習(xí)；數(shù)學(xué)思想

　　中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是初中學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后階段，總復(fù)習(xí)的效果直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，是調(diào)動學(xué)生復(fù)習(xí)主動性和積極性，提高復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵，由于總復(fù)習(xí)是知識的再現(xiàn)過程，學(xué)生容易產(chǎn)生厭倦心理，如何上好復(fù)習(xí)課，使學(xué)生易于接受，樂于接受。這就需要我們老師吃透《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，掌握課程考試綱要，熟練駕馭教材，重視通性通法，注重變式訓(xùn)練，讓數(shù)學(xué)課堂在變中出彩。

　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿這兩條主線，即數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法。通性通法蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，更貼近學(xué)生的思想認(rèn)識水平，符合常人的思維習(xí)慣，同樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，復(fù)習(xí)時要讓學(xué)生熟練掌握通性通法，并能夠靈活應(yīng)用，而對那些適用面窄，局限性大的特殊技巧應(yīng)予以淡化，以免削弱對通性通法的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練。在初中數(shù)學(xué)中，常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、整體思想等。應(yīng)在解決問題的過程中加以揭示、運(yùn)用和提煉，并在專題復(fù)習(xí)階段進(jìn)一步系統(tǒng)化，對于常用于數(shù)學(xué)解題的配方法、換元法、待定系數(shù)法等通法，盡管各自有其不同的特點(diǎn)和應(yīng)用范圍，但他們都是解決數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)有力的工具，應(yīng)在基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)階段進(jìn)行滲透、解釋和運(yùn)用，并在專題復(fù)習(xí)階段進(jìn)行系統(tǒng)化的訓(xùn)練，要注意運(yùn)用通性通法積累一些常規(guī)的解題方法，形成常規(guī)的解題意識和能力。下面就自己在現(xiàn)階段初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的一點(diǎn)做法供大家探討：

　　一、變通知識結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)知識脈絡(luò)

　　數(shù)學(xué)教材是按循序漸進(jìn)，螺旋式上升的原則進(jìn)行編排的，復(fù)習(xí)時若再按章節(jié)一一回顧知識要點(diǎn)，學(xué)生會覺得枯燥乏味，心生厭煩，也不利于知識系統(tǒng)的形成。心理學(xué)研究表明新鮮事物容易使人產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心、求知欲。總復(fù)習(xí)階段學(xué)生已經(jīng)失去了上新課時的那種熱情和新鮮感，因此，教師要調(diào)整知識結(jié)構(gòu)，讓知識以另一副面孔呈現(xiàn)。

　　根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教材在內(nèi)容編排上往往把某些知識分散介紹。在總復(fù)習(xí)時，應(yīng)將這些知識運(yùn)用通性通法，進(jìn)行系統(tǒng)整理，給學(xué)生以整體全面的知識結(jié)構(gòu)體系。例如，方程、不等式與函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，看似相互獨(dú)立的三塊知識結(jié)構(gòu)，實(shí)際上是緊密聯(lián)系，相輔相成的教學(xué)內(nèi)容，在復(fù)習(xí)一次函數(shù)時，可利用圖像闡明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之間的聯(lián)系。而二次函數(shù)，可利用圖像闡明它和一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系。這樣的知識整理可讓學(xué)生對函數(shù)、方程、不等式有更全面的理解，在對舊知識進(jìn)行梳理時，進(jìn)行多角度的審視，而不是機(jī)械的重復(fù)，讓學(xué)生耳目一新的同時，體會數(shù)學(xué)的緊密性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

　　二、改編題目條件，實(shí)現(xiàn)知識遷移

　　題目變通包括條件的探究，即增加、減少或變更條件；結(jié)論的探究，即結(jié)論是否唯一；引申探究，即命題是否推廣；數(shù)與形的探究等。利用此類變通方法，可以使學(xué)生掌握一類題的解法，即解題通法。其實(shí)解題不僅可以查漏補(bǔ)缺，檢查知識的掌握情況，還能夠通過解題提煉出解題方法，解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題、探究創(chuàng)新以及靈活多變的思維能力。

　　例如（2007年江西省中考試題）如圖1，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）

　　[說明]此題是運(yùn)用矩形對角線互相平分，且其交點(diǎn)在等腰△AOB的頂角平分線上來解決問題。

　　變式1   如圖2，已知∠AOB，⊙P與∠AOB的兩邊相切，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）。

　　變式2  如圖3，已知∠AOB，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在OA，OB上，四邊形EOFP是菱形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）。

　　變式3  如圖4，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）

　　本題組是將起點(diǎn)題中的矩形分別變換成圓、菱形、平行四邊行，通過不同知識解決同一問題，使學(xué)生的思維得以發(fā)散。

　　事實(shí)上，許多課本習(xí)題都是由編寫者精心篩選，匠心獨(dú)運(yùn)命制而成的，具有豐富的內(nèi)涵，平時解題時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思。既要反思題目的條件與結(jié)論之間因果關(guān)系能否交換，又要注意命題條件能否等價的更換，結(jié)論能否拓展、引申與推廣，圖形的結(jié)構(gòu)能否發(fā)生變化，怎樣變化？從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法的變通，因?yàn)榭偨Y(jié)的過程需要涉及許多相關(guān)知識，因此，有的學(xué)生不愿意在這方面下功夫，而忽略了它，但真正做起來就會覺得其妙無窮，因?yàn)榭偨Y(jié)解決的不僅是解一道題，更為重要的是學(xué)生在這一過程中參與了創(chuàng)造性思維活動這一點(diǎn)絕非單純的解多少道題目所能比及的，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好解題后的反思總結(jié)，橫穿縱拓地探索，必能激起學(xué)生探求數(shù)學(xué)奧秘的動機(jī)，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣。久而久之，就可以讓學(xué)生學(xué)到總結(jié)歸納的方法，達(dá)到“做一題，通一類，會一片”舉一反三，觸類旁通的功效。

　　三、變換解題方法，感受數(shù)學(xué)思想

　　對于解題方法而言，當(dāng)從某個角度難以入手時，換一個角度的靈活多變，各種不同思路，不同方法的分析比較，是形成創(chuàng)新意識，創(chuàng)新能力的源泉。通過有意識的精選可用多種思路來完成的典型題，利用方法變通，可幫助學(xué)生找到解題的“切入點(diǎn)”，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，掌握換元法、配方法、待定系數(shù)法等常用數(shù)學(xué)方法。

　　例如圖（1）是由邊長為a的正方形剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形，把圖（1）剪開后，再拼成一個四邊形，用來驗(yàn)證公式a2-b2=(a+b)(a-b)

　　在第一個同學(xué)拿出方法一后，馬上就有同學(xué)展示了方法二，在接下來的討論中同學(xué)們紛紛給出了方法三的（1）、(2)、(3)三種方案，每個同學(xué)都躍躍欲試，都體驗(yàn)了自己的成功，課堂因不同的方法而變得精彩。

　　四、變通思維方式，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

　　“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操”。思維變通往往指的是以上幾種變通的綜合，尤其是題目變通和方法變通。在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，利用此類變通問題可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，從而更好地挖掘?qū)W生的潛能，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

　　例如：如圖，在小河l的同旁有牛欄A和草地B，牛每天要先到河邊飲水，然后到草地吃草。請問牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

　　這是一道典型的幾何作圖試題，它涉及軸對稱，兩點(diǎn)之間線段最短，尺規(guī)作圖等數(shù)學(xué)知識，若將這道題稍加變式，則能激起學(xué)生更大的思維浪花。

　　變式1：一束光線從y軸上點(diǎn)A(0,2)出發(fā)，經(jīng)過x軸上點(diǎn)P反射后經(jīng)過點(diǎn)B(4,6)，則點(diǎn)P坐標(biāo)------

　　變式2：在上題中，試在軸上找一點(diǎn)，使PB-PA的值最大，則點(diǎn)P坐標(biāo)-------

　　思路分析：若P、A、B不在一直線上，則PB-PA<AB；若P、A、B在一直線上，則PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB,，其最大值為AB，所以P(-2,0)

　　老師在展示這道變式題時學(xué)生的興致很高，尤其是基礎(chǔ)比較扎實(shí)，成績比較優(yōu)秀的學(xué)生收效甚好。

　　在變式探究過程中，學(xué)生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因變化的奧妙精彩而推向高潮。教學(xué)的關(guān)鍵不是記住結(jié)論，而是經(jīng)歷探究的過程，感受數(shù)學(xué)的研究方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的提高，只有在運(yùn)用通性通法進(jìn)行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學(xué)，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使思維在所學(xué)知識中游刃有余，順暢飛翔。

　　中考試卷中的新題型知識考查的載體，在總復(fù)習(xí)時不能將新題型的復(fù)習(xí)游離于通性通法之外，應(yīng)重視“選題”和“變式”訓(xùn)練，通過編式訓(xùn)練幫助學(xué)生多角度理解知識，掌握數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，從而達(dá)到靈活運(yùn)用的目的，如何挖掘每個數(shù)學(xué)問題的“營養(yǎng)價值”來達(dá)到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會貫通” 的功效。是數(shù)學(xué)教師錘煉自身內(nèi)功的一個追求目標(biāo)，精選的例題、習(xí)題既要能體現(xiàn)通性通法，即既包含數(shù)學(xué)思想方法，又要適量“難、新、活、寬”的題目做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏。從而使數(shù)學(xué)課堂在變中出彩。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]裴光亞  《中學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的戰(zhàn)略決策》中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2008（1-2）

　　[2]王鋒    《教學(xué)生做一題，通一類，會一片》中小學(xué)數(shù)學(xué)2007（1-2）