什么是數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)化的內(nèi)涵是什么？

     數(shù)學(xué)化是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的核心，在弗賴登塔爾（(H.Freudenthal,1905—1990)是國(guó)際上極負(fù)盛名的荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家.）看來(lái)，數(shù)學(xué)化有橫向（水平）數(shù)學(xué)化和縱向（垂直）數(shù)學(xué)化之分，橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號(hào)世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號(hào)世界里符號(hào)的生成，重塑和被使用”。也可以這樣理解：橫向數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物是生成生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，縱向數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物是生成抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

如何處理好橫向與縱向數(shù)學(xué)化的關(guān)系？

    弗賴登塔爾原來(lái)并不接受橫向與縱向數(shù)學(xué)化的劃分，但最終他不僅接受了這種劃分的思想，甚至到了極力推崇的地步。原因是如果用雙重的二分法分別從橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化進(jìn)行分類，數(shù)學(xué)教育可以分成四種類型，且分別對(duì)應(yīng)著的哲學(xué)觀：
1、缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺乏縱向數(shù)學(xué)化，是機(jī)械主義：
2、橫向數(shù)學(xué)化得到成長(zhǎng)，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗(yàn)主義；
3、橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來(lái)，是結(jié)構(gòu)主義：
4、橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化都得到成長(zhǎng)，是現(xiàn)實(shí)主義。當(dāng)下我國(guó)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化要結(jié)伴而行，均衡發(fā)展。數(shù)學(xué)課要上出數(shù)學(xué)味。選擇橫向的和縱向的數(shù)學(xué)化兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，來(lái)設(shè)計(jì)和分析數(shù)學(xué)教學(xué)，會(huì)幫助教師更好地理解自己教學(xué)設(shè)計(jì)的明確的或含蓄的意圖，防止數(shù)學(xué)教學(xué)偏離現(xiàn)實(shí)主義的正確道路。

   例如，小學(xué)一年級(jí)學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)加法呢?首先，要向?qū)W生提供熟悉的現(xiàn)實(shí)情境：笑笑左手拿著2支鉛筆，右手拿著3支鉛筆，她一共有幾文鉛筆?其次，指導(dǎo)學(xué)生參與活動(dòng)：
①笑笑的一只手拿著幾支鉛筆，你就在本子上畫幾個(gè)小圓圈；
②笑笑的另一只手拿著幾支鉛筆，你在本子上繼續(xù)畫上幾個(gè)小圓圈；
②數(shù)一數(shù)你的本子上一共畫了幾個(gè)小圓圈?
④想一想：你所畫的這些小圓圈表示什么意義?

  讓每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷上述畫圖、數(shù)數(shù)與思考等數(shù)學(xué)活動(dòng)，都體驗(yàn)并獲得一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：2支鉛筆與3支鉛筆合起來(lái)一共有5支鉛筆。在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師才把這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)加以形式化，寫出加法算式：2十3＝5或3十2＝5，并指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境運(yùn)用語(yǔ)言描述或解釋算式中每一個(gè)數(shù)或運(yùn)算符號(hào)的意義。進(jìn)而讓學(xué)生在新的情境中嘗試應(yīng)用加法算式，表示現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的加法結(jié)構(gòu)。