《孫子算經(jīng)》運(yùn)用中國(guó)剩余定理巧妙解題
我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何？”這里的幾何指多少的意思。翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：求正整數(shù)N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。
如何求符合上述條件的正整數(shù)N呢？《孫子算經(jīng)》給出了一個(gè)非常有效的巧妙解法。術(shù)曰：“三、三數(shù)之剩二，置一百四十；五、五數(shù)之剩三，置六十三；七、 七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之剩一，則置七十；五、五數(shù)之剩一，則置二十一；七、七數(shù)之剩一，則置十五。 一百六以上，一百五減之，即得。”
過(guò)了一千多年，到了十六世紀(jì)，數(shù)學(xué)家程大位在他所著的《算法統(tǒng)宗》里把這個(gè)問(wèn)題的解法用歌訣形式表述出來(lái)。三人同行七十稀， 五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得之。
歌訣的前三句給出了三組數(shù)，后一句給出了一個(gè)數(shù)：
3 70
5 21
7 15
105
三組數(shù)的共同特征是：
70除以3余1，除以5、7余0； 21除以5余1，除以3、7余0； 15除以7余1，除以3、5余0。
首先程大位把不同的余數(shù)問(wèn)題統(tǒng)一化為標(biāo)準(zhǔn)的余數(shù)問(wèn)題。然后，他把復(fù)雜難解的問(wèn)題化解為三個(gè)易解的問(wèn)題。70、21、15分別是滿(mǎn)足第一、二、三行條件的最小解。
2×70滿(mǎn)足原題第一個(gè)余數(shù)條件，且被5、7整除。
3×21滿(mǎn)足原題第二個(gè)余數(shù)條件，且被3、7整除。
2×15滿(mǎn)足原題第三個(gè)余數(shù)條件，且被3、5整除。
統(tǒng)統(tǒng)相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。
N必然滿(mǎn)足原題所有三個(gè)余數(shù)條件。但N不一定是最小的。歌訣最后一句“除百零五便得知”，這里“除”的意思是“減”，意即從233中減去3、5、7的 最小公倍數(shù)105的倍數(shù)便得到23。這個(gè)23就是問(wèn)題的最小解。這最后一句也可以理解為N除以105的余數(shù)就是問(wèn)題的最小解。
