數論之整數拆分練習9

　　一、只有1

　　一道簡單的問題是：用1、＋、×、（）的運算來分別表示23和27，哪個數用的1較少？要表達2008，最少要用多少個1？

　　我們先給出從1到15的表達式。

　　1=1,

　　2=1+1,

　　3=1+1+1,

　　4=(1+1)×(1+1)，

　　5=(1+1)×(1+1)+1,

　　6=(1+1)×(1+1+1),

　　7=(1+1)×(1+1+1)+1,

　　8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

　　9=(1+1+1)×(1+1+1),

　　10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

　　11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

　　12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

　　13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

　　14=  (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

　　15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

　　把用1的個數寫成數列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

　　對于23，

　　23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

　　1的個數為11。

　　對于27，

　　27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

　　1的個數為9。

　　對于2008這樣的大數，要尋找表達式很困難。

　　我找到的表達式是

　　(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

　　一共用了24個1，但是不是用了最少的1，證明起來有一定難度。